CF1149C 题解

2022-08-03 16:01:50 作者：互联网

（Link，Div1，2700）

首先把边上的括号序转换成不完整的点上括号序：把每条边上的括号下放到它所指向的儿子处，题设序列就变成了“从根节点开始遍历整棵树，除根结点外，每开始访问和结束访问某个结点的子树时分别将一个 ( 和一个 ) 添加至序列末尾”所最终形成的括号序。借鉴树上莫队的方式方法可知这个括号序的子串们去掉匹配括号后的长度（以下简称“去匹长”）可以满射到树上任意一条路径的长度，且它们相等（实际上是子串去掉匹配括号后可以直接满射到路径上，感性理解）：

\[\forall u\in[1,n]\land v\in[1,n]\land u\le v,\exist i\in[1,2n-2]\land j\in [1,2n-2]\land i\le j,f((i,j))=(u,v) \]

其中 \(f\) 是一种奇怪的映射，具体可以访问这篇blog中的【树上莫队】篇内容。

于是树的直径变成了【子串们去匹长的最大值】。这东西很难看，考虑具象化，赋予每个 ( \(1\) 的权值以及每个 ) \(-1\) 的权值，一个串的去匹长转化为把这个串分成两段（均可以为空）后后面一段的权值和减去前面一段的权值和的最大值：

\[\operatorname{len\_extract\_match}(t)=\max_{i=0}^{|t|} \left(\sum_{j=i+1}^{|t|} val(t_j)\right)-\left(\sum_{j=1}^i val(t_j)\right) \]

这个仍然可以感性理解，分出来的后面那段要放尽量多的 ( 也就是权值尽量大，前面那段要放尽量多的 ) 也就是权值尽量小，加减的过程中匹配的 ( 和 ) 会被自动消掉。

外面再套上一层 \(\max\)，求出一个串 \(S\) 的任意一个子串 \(t\) 去匹长的最大值：

\[\operatorname{max\_substr\_len\_extract\_match}(S)=\max_{t\in substr(S)} \max_{i=0}^{|t|} \left(\sum_{j=i+1}^{|t|} val(t_j)\right)-\left(\sum_{j=1}^i val(t_j)\right)\\ =\max_{i=0}^{|S|} \left(\sum_{j=i+1}^{|S|} val(S_j)\right)-\left(\sum_{j=1}^i val(S_j)\right) \]

做到这一步题目中 swap 已经没有任何性质了，线段树维护然后模拟之即可。

重头戏来了。每个结点需要维护 \(7\) 个值（设其维护的区间为 \([l,r]\)）：

ans，该结点答案，即 \([l,r]\) 这个子串的所有子串们去匹长的最大值；
whans，用上 \([l,r]\) 这个子串的所有位置组成串的去匹长，也就是 \([l,r]\) 这个子串的去匹长；
lans，包含 \(l\) 这个位置的 \([l,r]\) 的子串的去匹长的最大值，即前缀最大去匹长；
rans，包含 \(r\) 这个位置的 \([l,r]\) 的子串的去匹长的最大值，即后缀最大去匹长；
sum，\([l,r]\) 的权值和；
lmx，\([l,r]\) 中包含 \(l\) 这个位置的 \([l,r]\) 的子串的权值和最大值，即前缀最大权值和；
rmx，\([l,r]\) 中包含 \(r\) 这个位置的 \([l,r]\) 的子串的权值和最大值，即后缀最大权值和。

剩下的就是如何 pushup 了，十分的简单，简单到笔者在赛时AC本题的 dalao 的帮助下调了6h：

void updata(int x){
    ans(x)=max(max(ans(ls(x)),ans(rs(x))),
               max(lans(rs(x))-min(rmn(ls(x)),0),rans(ls(x))+max(lmx(rs(x)),0)));
    whans(x)=max(whans(ls(x))+sum(rs(x)),whans(rs(x))-sum(ls(x)));
    lans(x)=max(lans(ls(x)),max(whans(ls(x))+max(lmx(rs(x)),0),lans(rs(x))-sum(ls(x))));
    rans(x)=max(rans(rs(x)),max(whans(rs(x))-min(rmn(ls(x)),0),rans(ls(x))+sum(rs(x))));
    sum(x)=sum(ls(x))+sum(rs(x));
    lmx(x)=max(lmx(ls(x)),sum(ls(x))+lmx(rs(x)));
    rmn(x)=min(rmn(rs(x)),sum(rs(x))+rmn(ls(x)));
}

标签：子串,rs,题解,sum,权值,ls,max,CF1149C
来源： https://www.cnblogs.com/vanspace/p/16547447.html