box
作者：互联网
设 \(X_i\) 为始终取球，取完第i种球所需取球的次数
\(E(X_i)\) 为始终取球，取完第i种球所需取球的期望次数
\(S={X_i}\)
min_max容斥：
\[min(S)=\sum_{t \subseteq S , t \ne \varnothing}(-1)^{|t|-1}max(t) \]\(max(t)\)=\(max(X_i,X_i \in t)\)
如果\(X_k=max(t)\),那么把 \(k\) 取完与把 \(t\) 中所有颜色都取完是充要的
\(max(t)\)就等于把t中所有颜色取完所需次数
\(E(max(t))\)就是把t中所有颜色取完所需的期望次数
\[E(max(t))=m|t|+\frac{m|t|}{m|t|+1} m(n - |t|) \]可以用插空法理解。
\(min(S)\)为把一种颜色的球取完的所需最小次数，即为直到某一种颜色的球被取完为止,取球的次数
\(E(min(S))\)就是答案。
第一个式子等式两边同时取期望，有：
\[\begin{aligned} ans=E(min(S))&=E(\sum_{t \subseteq S , t \ne \varnothing}(-1)^{|t|-1}max(t))\\ &=E(\sum_{1 \le i \le n}{\binom{n}{i}(-1)^{i-1}max(t)})\\ &=\sum_{1 \le i \le n}{\binom{n}{i}(-1)^{i-1}E(max(t))}\\ &=\sum_{1 \le i \le n}{\binom{n}{i}(-1)^{i-1}(mi+\frac{mi}{mi+1} m(n - i)})\\ \end{aligned} \]线性预处理出阶乘和\(mi+1\)的逆元即可
标签：box,le,min,max,sum,取完,取球 来源： https://www.cnblogs.com/artalter/p/16496460.html