同余方程

太惭愧了。我把扩欧给忘了，加紧补救一下。

扩欧用来解决形如 \(ax+by=mg,g=gcd(a,b)\) 的特解 \(x,y\) 的算法。首先我们知道假如我们求出了 \(x',y'\) 满足 \(ax'+by'=g\) ，那么必然有特解 \(x=mx',y=my'\) ，于是就把问题一般化了。

考虑欧几里得辗转相除法最后肯定会有 \(a=g,b=0\) 的情况，那么此时则有 \(x=1,y=0\) 这组解，毕竟 \(1g+0y=g\) 恒成立。接下来考虑其它情况：

上一层返回的答案 \(x',y'\) 肯定满足 \(x'b+y'(a\%b)=g\) 。那么：

\[xa+yb=x'b+y'(a\%b)=g \]

\[xa+yb=x'b+y'(a-a/b\times b)=g \]

\[xa+yb=x'b+y'a+y'(-a/b\times b)=g \]

\[xa+yb=x'b+y'a+(-y'\times a/b)b=g \]

\[xa+yb=y'a+(-y'\times a/b+x')b=g \]

也就是说， \(x=y',y=-y'\times a/b+x'\) 一定是满足我们的要求的。到此推导完毕。

另外就是求出特解 \(x0,y0\) 之后，可以发现 \(\forall x=x0+rb,y=y0-ra\) ，都满足等式，这样我们就可以不重不漏地获得所有整数解了。

code:

#include<cstdio>
#define zczc
#define int long long
inline void read(int &wh){
    wh=0;int f=1;char w=getchar();
    while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
    while(w<='9'&&w>='0'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
    wh*=f;return;
}

int x,y;
void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){x=1,y=0;return;}
	exgcd(b,a%b);
	int xx=x,yy=y;
	x=yy,y=xx-a/b*yy;//不能写"xx-yy*a/b"
}

signed main(){
	
	#ifdef zczc
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	int a,b;
	read(a);read(b);
	exgcd(a,b);
	printf("%lld",(x%b+b)%b);
	
	return 0;
}

标签：方程,xa,int,yb,times,yy,wh,同余
来源： https://www.cnblogs.com/dai-se-can-tian/p/16255573.html