P1255 数楼梯 题解

题目描述

楼梯有 \(N\) 阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。

编一个程序，计算共有多少种不同的走法。

输入格式

一个数字，楼梯数。

输出格式

输出走的方式总数。

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解决

1. 递归的方法

有 \(1\) 阶楼梯时，输出 1 ；有 \(2\) 阶时，输出 2 ；否则，递归 pa(n-2)+pa(n-1) 。

这种方法十分好理解，但不能 AC 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long pa(int n){
	if(n==1){
		return 1;
	}else if(n==2){
		return 2;
	}else{
		return pa(n-1)+pa(n-2);
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	cout<<pa(n);
}

这种方法可以得到 \(50\) 分：

上图中递推造成 TLE，是因为函数一遍又一遍地调用自身，耗费了大量时间。

那么有没有耗时较少的方法呢？我们不难想到递推。

2. 纯递推的方法

我们试着列举各种阶数和对应的走法数：

比如，在 \(N=1\) 时，只有一种走法：上 \(1\) 阶。

在 \(N=2\) 时，有两种走法：11 和 2 。

在 \(N=3\) 时，有三种走法：111、12 和 21 。

列举更多的数字，得到下表：

阶数 \(N\)	走法数
1	1
2	2
3	3
4	5
5	8
6	13
7	21

这个表格中的走法数神似斐波那契数列，只是第二项变成了 \(2\)，由此写出：

• s[1]=1 ；
• s[2]=2 ；
• s[n]=s[n-1]+s[n-2] （\(n>2\)）

由此得到代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long go[1010]={1,2};
int n;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=2;i<n;i++){
		go[i]=go[i-1]+go[i-2];
	}
	cout<<go[n-1];
	return 0;
} 

可是这种方法依然不能 AC：

出现了两个 WA 和 RE，为什么？我们尝试输入本题的数据范围 \(5000\) ，输出了：

-8190626429588521950

这显然是得出的走法数超出了 long long 的范围。所以还得用高精度。

3. 递推+高精度的方法

利用高精度加法即可。

直接上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n; // 楼梯阶数
int a[5002][5002]; // 能过即可，不要开太大

int l=1; // l 标记长度
int g_sum(int c){ // 负责高精度加法
	for(int i=1;i<=l;i++){ // 两数按位相加（这里必须用 <=1 ，否则 20 分）
		a[c][i]=a[c-1][i]+a[c-2][i];
	}
	for(int i=1;i<=l;i++){
		if(a[c][i]>9){ // 如果某一位上两位数
			a[c][i+1]+=a[c][i]/10; // 模拟进位
			a[c][i]=a[c][i]%10;
			
		}
		if(a[c][l+1]){ // 扩充容量
			l++;
		}
	}
}
int main(){
	a[1][1]=1; // 初始化 （等同于go[1]=1）
	a[2][1]=2; // 等同于go[2]=2
	cin>>n;
	for(int i=3;i<=n;i++){
		g_sum(i); // 相加即可
	}
	for(int i=l;i>0;i--){
		cout<<a[n][i]; // 倒着输出结果
	}
	return 0;
}

今天，你 AC 了吗？

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附上做题过程（惨不忍睹）：

标签：P1255,走法,int,题解,long,pa,楼梯,递推
来源： https://www.cnblogs.com/liujimingblog/p/16131554.html