树状数组的基本操作

我们想要快速求数组中下标为 x ~ y 的数的和，大家第一时间都会想到用前缀和，时间复杂度为O(1)

但如果说要在线对数组进行修改的话，那用修改前缀和数组就会用O(n)的复杂度，对于q次询问，时间复杂度为O(qn)，速度极不理想

这是我们就可以使用树状数组来维护

树状数组支持单点修改，单点查询，区间修改，区间查询等操作

首先我们要知道：

树状数组有一个很关键的东西，叫做lowbit，

lowbit是将一个二进制数的所有高位一都去掉，只留下最低位的1，

比如lowbit（5）=lowbit（0101（二进制））=0001（二进制）

我们看看树状数组对应的位置及其lowbit

我们会发现，树状数组上的8号位（1000），它的lowbit值为8（1000），管辖着A[ 1 ~ 8 ]的节点

而树状数组上的6号位（0110），它的lowbit值为2（0010），管辖着A[ 5 ~ 6 ]的节点

树状数组上的3号位（0011），它的lowbit值为1（0001），管辖着A[ 3 ~ 3 ]的节点

......

可以猜想，树状数组上的k号位，它的lowbit值为lowbit（k），将会管辖着A[ k-lowbit(k)+1 ~ k ]的节点

所以说，要实现求 1 ~ k 的和，我们可以变为计算A[1 ~ k - lowbit(k) ]与A[ k - lowbit(k) + 1 ~ k]的和

而求A[1 ~ k - lowbit(k) ]的和也是如此，递归下去就可以得到结果

时间复杂度为O(logn)

那如何进行单点修改呢？

我们若对A2进行修改，如图，树状数组中2(0010),4(0100),8(1000)号位都会被修改

若对A5进行修改，如图，会对5(0101),6(0110),8(1000)号位造成影响

 我们发现，当k号位被修改时，k + lowbit(k) 号位也会被修改，如此递归，到不能修改为止

时间复杂度为O(logn)

所以，对于q次询问，树状数组的时间复杂度只用O(qlogn)

说了那么多，那lowbit该如何实现呢？

这是，前人的智慧就凸显出来了：

lowbit（x）= x & (-x)

 上代码：

 【模板】树状数组 1 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5*1e5+5;
int n,m,q,x,y;
struct node{
	node(){
		memset(a,0,sizeof a);
	}
	int a[maxn];
	int sum(int x){
		int ans=0;
		for(;x;x-=x&(-x))ans+=a[x];
		return ans;
	}
	void update(int x,int c){
		for(;x<=n;x+=x&(-x))a[x]+=c;
	}
}T; 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		T.update(i,x);
	}
	while(m--){
		cin>>q>>x>>y;
		if(q==1)T.update(x,y);
		else cout<<T.sum(y)-T.sum(x-1)<<endl;
	}
	return 0;
}

标签：树状,int,lowbit,号位,修改,数组,基本操作
来源： https://blog.csdn.net/tanjianlang/article/details/123589954