[GDOI2018]滑稽子图

题目链接：【被和谐】

题目大意：对于一棵树$(V,E)$，对于$S\subset V$，$f(S)$为点集$S$的导出子图的边数。求$\sum_{S\subset V}f(S)^k$

看到这个$k$次方，马上用斯特林数。

$$ans=\sum_{S\subset V}f(S)^k=\sum_{i=0}^ki!S(k,i)\sum_{S\subset V}{f(S)\choose i}$$

然后考虑怎么求后面那个式子。

这个式子表示在$S$的导出子图里面选$i$条边的方案数，然后就可以树形dp了

设$dp_{x,s,0/1}$表示在以$x$为根的子树内部，选择$s$条边，$x$是否$\in S$

在新加上一个$x$的子树$v$的时候，$S$只有原来和只有新的子树的情况直接加上就行。

还有合在一起的情况，设原来的子树有$j$条边，$v$里面有$k$条边。

则$$dp[x][j+k][0]+=(dp[v][k][0]+dp[v][k][1])*dp[x][j][0]$$$$dp[x][j+k][1]+=(dp[v][k][0]+dp[v][k][1]+[k\not= 0]dp[v][k-1][1])*dp[x][j][1]$$

注意这两种情况还要统计进答案里。

而且由于会出现贡献到自己的情况，所以要用一个辅助数组来存储。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #define Rint register int
 4 using namespace std;
 5 typedef long long LL;
 6 const int N = 100003, mod = 998244353;
 7 int n, m, K, head[N], to[N << 1], nxt[N << 1], size[N];
 8 inline void add(int a, int b){
 9     static int cnt = 0;
10     to[++ cnt] = b; nxt[cnt] = head[a]; head[a] = cnt;
11 }
12 LL dp[N][13][2], f[13][2], ans[13], S[13][13];
13 inline void dfs(int x, int fa){
14     size[x] = 1;
15     dp[x][0][0] = 0; dp[x][0][1] = 1; ++ ans[0];
16     for(Rint i = head[x];i;i = nxt[i])
17         if(to[i] != fa){
18             dfs(to[i], x);
19             memcpy(f, dp[x], sizeof f);
20             for(Rint j = 0;j <= K && j <= size[to[i]];j ++)
21                 f[j][0] = (f[j][0] + dp[to[i]][j][0] + dp[to[i]][j][1]) % mod;
22             for(Rint j = 0;j <= K && j <= size[x];j ++)
23                 for(Rint k = 0;k <= K - j && k <= size[to[i]];k ++){
24                     LL S = (dp[to[i]][k][0] + dp[to[i]][k][1]) % mod;
25                     LL s1 = dp[x][j][0] * S % mod, s2 = dp[x][j][1] * (S + (k ? dp[to[i]][k - 1][1] : 0)) % mod;
26                     f[j + k][0] = (f[j + k][0] + s1) % mod;
27                     f[j + k][1] = (f[j + k][1] + s2) % mod;
28                     ans[j + k] = (ans[j + k] + s1 + s2) % mod;
29                 }
30             memcpy(dp[x], f, sizeof f);
31             size[x] += size[to[i]];
32         }
33 }
34 int main(){
35     scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
36     for(Rint i = 1;i < n;i ++){
37         int a, b;
38         scanf("%d%d", &a, &b);
39         add(a, b); add(b, a);
40     }
41     dfs(1, 0);
42     S[0][0] = 1;
43     for(Rint i = 1;i <= K;i ++)
44         for(Rint j = 1;j <= i;j ++)
45             S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + S[i - 1][j] * j) % mod;
46     LL fac = 1, res = 0;
47     for(Rint i = 1;i <= K;i ++){
48         fac = fac * i % mod;
49         res = (res + fac * S[K][i] % mod * ans[i] % mod) % mod;
50     }
51     printf("%lld", res);
52 }

标签：subset,int,滑稽,sum,子图,GDOI2018,条边,dp
来源： https://www.cnblogs.com/AThousandMoons/p/10500323.html