【数论】——欧拉定理与快速幂

文章目录

• 【数论】——欧拉定理与快速幂
• • 欧拉定理
  • • 推论
  • 快速幂
  • • 乘法逆元

欧拉定理

• 若正整数 a，b 互质，则有：（其中：$ phi(n)$ 为欧拉函数）
  a ϕ ( n ) ≡ 1 ( m o d   n ) a^{\phi(n)}\equiv 1\qquad (mod\ n) aϕ(n)≡1(mod n)

推论

1. 费马小定理
   若 p 是质数，则对于任意整数 a，有：
   a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv 1\qquad (mod\ p) ap−1≡1(mod p)

• 证明（构造函数法）——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）
  

2. 若正整数 a，n 互质，则对任意正整数 a 有：
   a b ≡ a p   m o d   ϕ ( n ) ( m o d   n ) a^b \equiv a^{p\ mod \ \phi(n)}\qquad(mod\ n) ab≡ap mod ϕ(n)(mod n)

• 证明（构造函数法）——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）
  

快速幂

• 反复平方法
  k 位二进制可以表示所有 [1, 2 k − 1 2^k-1 2k−1] 的所有数（状态压缩），由此性质，对于给定一个取模数 p，预处理：
  a 2 0   ( m o d   p ) , a 2 1 ( m o d   p ) , . . . , a 2 k ( m o d   p ) a^{2^0}\ (mod\ p),a^{2^1}(mod\ p),...,a^{2^k}(mod\ p) a20 (mod p),a21(mod p),...,a2k(mod p)
  然后将根据所求数的二进制表示每一位取出相乘即可求出要求的幂。
• 代码

int qickmi(int a,int k,int p)// a^k%p
{
    int res = 1;
    // 要转为 LL 防止溢出
    while(k){if(k&1)
            res = (long long)res * a % p;
        a = (long long)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

乘法逆元

• 定义
  若 b，m 互质，并且有 b ∣ n b\mid n b∣n，则存在一个整数 x，使得
  a b ≡ a ∗ x ( m o d   m ) \frac{a}{b} \equiv a *x\qquad (mod\ m) ba​≡a∗x(mod m)
  称 x 为 b mod m 的乘法逆元，记作：
  b − 1 ( m o d   m ) b^{-1} \qquad (mod\ m) b−1(mod m)
  变形后也可以得到：
  b ∗ b − 1 ≡ ( m o d   m ) b*b^{-1} \equiv \qquad (mod\ m) b∗b−1≡(mod m)
• 如果m是质数，则根据费马小定理：
  b m − 1 ≡ 1 ( m o d   m ) b^{m-1} \equiv 1 \qquad (mod\ m) bm−1≡1(mod m)
  代入上式
  b ∗ b m − 1 ≡ 1 ( m o d   m ) b*b^{m-1} \equiv 1 \qquad (mod\ m) b∗bm−1≡1(mod m)
  根据乘法逆元定义式，此时b的乘法逆元为：
  b p − 2 b^{p-2} bp−2
• 调用快速幂即可求出逆元，在求组合数时会派上用场

标签：数论,qquad,定理,int,逆元,mod,欧拉,equiv
来源： https://blog.csdn.net/GXT020507/article/details/122790382