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[LibreOJ - 2150] 最大子矩阵 (dp)

2021-11-30 17:02:35 作者：互联网

[LibreOJ - 2150] 最大子矩阵

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大致题意:

在 n ∗ m n*m n∗m的矩阵中,选出 k k k个子矩阵,使得这 k k k个子矩阵分值之和最大(选出的 k k k个子矩阵不能相互重叠)

解题思路:

m m m的取值只有1或者2,分情况讨论

当 m m m等于1时

预处理出第一列的前缀和,用 s u m 1 sum1 sum1表示

状态表示: f [ i ] [ j ] 表示到第 i 行取了 j 个矩阵的最大值 f[i][j]表示到第i行取了j个矩阵的最大值 f[i][j]表示到第i行取了j个矩阵的最大值

转移方程:

不选第i行的数字: f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j] = f[i - 1][j] f[i][j]=f[i−1][j]
选第i行的数字: f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i ] [ j ] , f [ p − 1 ] [ j − 1 ] + s u m 1 [ i ] − s u m 1 [ p − 1 ] ) p 表示 1 到 i 之间的数 f[i][j] = max(f[i][j], f[p - 1][j - 1] + sum1[i] - sum1[p - 1]) p表示1到i之间的数 f[i][j]=max(f[i][j],f[p−1][j−1]+sum1[i]−sum1[p−1])p表示1到i之间的数

当 m m m等于2时

预处理出第二列的前缀和,用 s u m 2 sum2 sum2表示

状态表示: d p [ i ] [ j ] [ k ] 表示第一列到第 i 行 , 第二列到第 j 行 , 取了 k 个矩阵的最大值 dp[i][j][k]表示第一列到第i行,第二列到第j行,取了k个矩阵的最大值 dp[i][j][k]表示第一列到第i行,第二列到第j行,取了k个矩阵的最大值

转移方程:

不选第一列第i个数字或者不选第二列第j个数: d p [ i ] [ j ] [ p ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] [ p ] , d p [ i ] [ j − 1 ] [ p ] ) dp[i][j][p] = max(dp[i - 1][j][p], dp[i][j - 1][p]) dp[i][j][p]=max(dp[i−1][j][p],dp[i][j−1][p])
选第一列第i个数字: d p [ i ] [ j ] [ p ] = m a x ( d p [ i ] [ j ] [ p ] , d p [ h − 1 ] [ j ] [ p − 1 ] + s u m 1 [ i ] − s u m 1 [ h − 1 ] ) h 表示 1 到 i 之间的数 dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[h - 1][j][p - 1] + sum1[i] - sum1[h - 1]) h表示1到i之间的数 dp[i][j][p]=max(dp[i][j][p],dp[h−1][j][p−1]+sum1[i]−sum1[h−1])h表示1到i之间的数
选第二列第j个数字: d p [ i ] [ j ] [ p ] = m a x ( d p [ i ] [ j ] [ p ] , d p [ i ] [ h − 1 ] [ p − 1 ] + s u m 2 [ j ] − s u m 2 [ h − 1 ] ) h 表示 1 到 j 之间的数 dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[i][h - 1][p - 1] + sum2[j] - sum2[h - 1]) h表示1到j之间的数 dp[i][j][p]=max(dp[i][j][p],dp[i][h−1][p−1]+sum2[j]−sum2[h−1])h表示1到j之间的数
第一列第i个数字和第二列第j个数同时选: d p [ i ] [ j ] [ p ] = m a x ( d p [ i ] [ j ] [ p ] , d p [ h − 1 ] [ h − 1 ] [ p − 1 ] + s u m 1 [ i ] − s u m 1 [ h − 1 ] + s u m 2 [ j ] − s u m 2 [ h − 1 ] ) dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[h - 1][h - 1][p - 1] + sum1[i] - sum1[h - 1] + sum2[j] - sum2[h - 1]) dp[i][j][p]=max(dp[i][j][p],dp[h−1][h−1][p−1]+sum1[i]−sum1[h−1]+sum2[j]−sum2[h−1])

AC代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;
const int N = 110;
int n, m, k;
int a[N][N]; 
int sum1[N], sum2[N]; //sum1第一列前缀和 sum2第二列前缀和
int f[N][N], dp[N][N][15]; //f表示到第i行取了j个矩阵的最大值 dp表示第一列到第i行,第二列到第j行,取了k个矩阵的最大值

int main(void)
{
	cin >> n >> m >> k;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			cin >> a[i][j];
			if (j == 1)sum1[i] = sum1[i - 1] + a[i][j];
			else sum2[i] = sum2[i - 1] + a[i][j];
		}

	if (m == 1) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= k; ++j) {
				f[i][j] = f[i - 1][j];//不选
				for (int p = 1; p <= i; ++p)
					f[i][j] = max(f[i][j], f[p - 1][j - 1] + sum1[i] - sum1[p - 1]);
			}
		cout << f[n][k] << endl;
	}
	else {
		for (int i = 1; i <= n; ++i) //第一列的行数
			for (int j = 1; j <= n; ++j) //第二列的行数
				for (int p = 1; p <= k; ++p) { //矩阵个数
					dp[i][j][p] = max(dp[i - 1][j][p], dp[i][j - 1][p]); //不选第一列第i行或者不选第二列第就j行
					//第一列
					for (int h = 1; h <= i; ++h) 
						dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[h - 1][j][p - 1] + sum1[i] - sum1[h - 1]);
					//第二列
					for (int h = 1; h <= j; ++h)
						dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[i][h - 1][p - 1] + sum2[j] - sum2[h - 1]);
					//俩列合并
					if (i == j)
						for (int h = 1; h <= i; ++h)
							dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[h - 1][h - 1][p - 1] + sum1[i] - sum1[h - 1] + sum2[j] - sum2[h - 1]);
				}
		cout << dp[n][n][k] << endl;
	}

	return 0;
}

标签：LibreOJ,int,max,矩阵,sum2,sum1,2150,dp
来源： https://blog.csdn.net/qq_49494204/article/details/121637020