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一些集合运算的性质

作者:互联网

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并集和交集的性质

性质 1

\(A\subset (A\cup B)\) 且 \(A \supset (A\cap B)\)

证明:

若 \(x\in A\),则 \(x\in A\) 或 \(x\in B\),故第一个结果成立。

若 \(x\in (A\cap B)\),则 \(x\in A\) 且 \(x \in B\),则 \(x \in A\),故第二个结果成立。

性质 2

当且仅当 \(A\cup B = B\) 时 \(A\subset B\)

证明:

右到左: 假设 \(A\sub B\),尝试证明 \(A\cup B\sub B\) 且 \(A\cup B\supset B\)。

由于假设 \(A\sub B\),那么 \((A\cup B)\sub (B\cup B)\),即 \(A\cup B\sub B\);

而 \(A\cup B\supset B\) 是显然成立的。

左到右: 假设 \(A\cup B = B\),显然 \(A\sub (A\cup B) = B\)。

性质 3

当且仅当 \(A\cap B = A\) 时 \(A\sub B\)

证明:

右到左: 假设 \(A\sub B\),尝试证明 \(A\cap B\sub A\) 和 \(A\cap B \supset A\)。

\(A\cap B\sub A\) 显然成立;由于 \(A\sub B\),那么

若有 \(x\in A\),则 \(x\in B\),即 \(x\in A\) 且 \(x\in B\),故 \(A\cap B\supset A\) 成立。

左到右: 假设 \(A\cap B = A\),显然 \(B\supset (A\cap B)\),即 \(A\sub B\)。

性质 4

对于任意 \(n\in N\),有:

\[A\cup(B_1\cap B_2\cap\cdots \cap B_n) = (A\cup B_1)\cap(A\cup B_2)\cap\cdots\cap(A\cup B_n) \]

即,并集具有对交集的分配律。

证明:

要证明的东西可以写成:

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) = \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

等价于证明:

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

和:

\[A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i) \]

第一个式子:

令 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\),如果 \(x\in A\),那么显然对于任意 \(B_i\),\(x\in (A\cup B_i)\),那么 \(x\in \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\);如果 \(x\in\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\),那么对于任意 \(B_i\),\(x\in B_i\),\(x\in(A\cup B_i)\),也成立。

第二个式子:

令 \(x\in\bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)\),那么对于任意 \(i\),\(x\in(A\cup B_i)\)。

若 \(x\in A\),那么 \(x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\);

若 \(x\in B_i\),那么 \(x\in \left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)\),也成立。

性质 5

\[A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) = \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i) \]

即交集具有对交集的分配律。

证明:

令 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\),则 \(x\in A\) 且 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\),故而必然有某个 \(i\) 使得 \(x\in (A\cap B_i)\),故而 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\),这就证明了\(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)

令 \(x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\),即 \(x\in A\),而且存在某个 \(i\) 使得 \(x\in B_i\),故而 \(x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\),故而 \(x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)\),这就证明了 \(A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)\)

德摩根律

在逻辑学中的类似定理

对于两个命题 \(\bf A\) 和 \(\bf B\),有:

\[\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\\ \neg({\bf A}\and{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\or(\neg{\bf B}) \]

大声读出来就可以明白正确性。

定理本身与对其的证明

令 \(E_{\alpha}\) 表示任意一族集合,令所有 \(E_{\alpha}\) 都是集合 \(X\) 的子集,在下文中以 \(E_{\alpha}^C\) 来表示在 \(X\) 中 \(E_{\alpha}\) 的补集。

定理:

\[\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\\ \left(\bigcap_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha}E_{\alpha}^C \]

证明:

以 \(\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\) 为例,实际上可以用之前无数次证明中所使用的定理 \(A=B\Longleftrightarrow A\sub B\and A\supset B\) 来证明,但也可以使用上文提到的 \(\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\) 来证明,具体过程是:

设命题 \({\bf P}(x,\alpha)\) 表示 \(x\in E_{\alpha}\),那么 \(x\in\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C\) 这个命题就等价于 \(\neg \left(\bigvee_{\alpha}{\bf P}(x,\alpha)\right)\),当然有一些逻辑上的边界需要处理,比如 \(x\notin E_{\alpha}\) 实际上表示 \(x\notin E_{\alpha} \and x\in X\),但无伤大雅,借此,定理就得证了。

标签:right,运算,cup,cap,bigcup,集合,alpha,left,性质
来源: https://www.cnblogs.com/sirin0240/p/15618224.html