一些自己看的的OI小知识
作者：互联网
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判断某个数能否由一些数组成可以先对数进行排序然后使用设 \(f_x\) 表示 \(x\) 是否能被组成，然后对于前 \(i\) 个数就有 \(f_x=f_x | f_{x-a_i}\) ，具体题目是 \(noip2018\) \(day1t2\)
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你去删除一个元素的时候可以不用说去真正的移除，你可以用一个并查集来标记像后方，表示被移除。并查集进行打标记是一个很有用的思路。
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实在遇到不会做的题，考虑一下 dp，即使不是正解也绝对没错，如果是在树上做 dp ，不要但考虑在链上的不如直接考虑树上 dp。
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遇到要求问方案数，没事就容斥一下，说不定就弄出来了。
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求某个节点在某个方向上的直接儿子，改为求方向上节点 \(v\) 的 \(dep_v-dep_u-1\) 级祖先
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\(\sum_{i=1}^n i^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
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裴蜀定理同样适用于多元，\(ax+by+cd=t\) 要求 \(t|(a,b,c)\)
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判断 \(x\) 是否为 \(y\) 的 祖先，可以记录 dfs 序进行判断，看一下对于 \(x\) 的 \(dfs\) 序区间是否包含 \(y\) 就行了。
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二项式反演：考虑求恰好 \(k\) 个物品的时候，可以按下面两种方法来做。
设 \(f_i\) 表示至少 \(i\) 个物品时的答案, \(g_i\) 为恰好 \(i\) 个物品时的答案。
然后 \(f_k=\sum\limits_{i=k}^n\displaystyle\binom{i}{k}g_i\)
紧接着 \(g_k=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}\displaystyle\binom{i}{k}f_i\)
设 \(f_i\) 表示至多 \(i\) 个物品时的答案, \(g_i\) 为恰好 \(i\) 个物品时的答案。
然后 \(f_k=\sum\limits_{i=0}^k\displaystyle\binom{k}{i}g_i\)
紧接着 \(g_k=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\displaystyle\binom{k}{i}f_i\)
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在使用全排列 \(\text{STL}\) 之前记得将序列从小到大排序。
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对于树链剖分上的东西，一个点到他的父亲，最多只会经过 \(\text{log}\) 条轻边，有时可以根据这个，用数据结构维护重链的操作，轻链上的进行暴力，复杂度仍然是对的。
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多测学会清空。
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遇到区间整体加同一个数多次别去想着直接上数据结构，想想差分，如果差分后仍然数量比较多，不妨想想将差分后的序列再差分，最后只需要做两次前缀和就可以了。
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将 \(1 \sim n\) 组成排列考虑分成 \(\sqrt{n}\) 块， 每一块分别输出，不断减小 \(m\) ，可以证明是对的，也就是 CF1017C 。
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异或相关，考虑使用线性基或者 01 trie 。
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树上限制构造次数或者明确遍历次数为 \(n \log n\) 的时候，考虑轻重链剖分，保留重儿子答案，单独处理轻儿子。
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哈夫曼树可以用于平衡线段树分治中增添删除不为 \(O(1)\) 的复杂度平衡，这样复杂度为 \(n \log n\) 。
标签：OI,sum,知识,差分,物品,一些,binom,displaystyle,dp 来源： https://www.cnblogs.com/orzpls/p/15149568.html