目录

• 题目：
• 1. 克莱姆法则解二阶线性方程组需多少次乘除法？
• 2. 高斯消元过程目标是什么？消元过程需多少次乘除法？
• 3. Frobenius矩阵与高斯消元过程有何关系？
• 4. 何谓矩阵的LU分解？如何用高斯消元法实现LU分解
• 5.求解三对角方程组的高斯消元法有何特点？
• 6. 何谓向量范数的三角不等式？说出几何意义？
• 7. 常用向量范数有哪三种？向量范数等价性有何意义？
• 8. 矩阵算子范数与向量范数有何关系，常用算子范数有哪三种？
• 9. 矩阵条件数和线性方程组的条件数是同一个概念吗？
• 10. 叙述平面三点定位的数学原理。写出数学模型。

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题目：

1. 克莱姆法则解二阶线性方程组需多少次乘除法？

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• 用克莱姆法则求解时，需要计算n+1个n阶行列式，
• 又每个n 阶行列式为 n! 项之和，每项又是n个元素的乘积，计算中仅乘法就有
• （n+1）n!(n-1) 次。除法需要进行 n 次。
  所以 当 n=2 时，乘法需要进行 3·2！·1=6 次， 2次除法。

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2. 高斯消元过程目标是什么？消元过程需多少次乘除法？

• 高斯消元过程目标是用行的初等变换将原线性方程组Ax=b化为与其等价的上三角形线性方程组。

• 消元过程总的乘除法运算次数\(=\frac{n^{3}}{3}+n^{2}-\frac{n}{3}\)

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3. Frobenius矩阵与高斯消元过程有何关系？

• Frobenius矩阵相当于对矩阵A进行一系列初等行变换，将矩阵A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解。

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4. 何谓矩阵的LU分解？如何用高斯消元法实现LU分解

• 矩阵的LU分解为把矩阵A分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
• 将高斯消元法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元素得到计算L,U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤。如采用矩阵的Doolittle方法。

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5.求解三对角方程组的高斯消元法有何特点？

由于三对角矩阵的稀疏性质，采用高斯消元法效率很高，很有实用价值，对于n阶三对角矩阵高斯消元法只用到5n-4次乘除法

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6. 何谓向量范数的三角不等式？说出几何意义？

\(\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|\)

几何意义：三角形两边之和大于第三边

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7. 常用向量范数有哪三种？向量范数等价性有何意义？

• 常用的向量范数有 ∞- 范数，向量的1-范数，向量的2-范数
• 所谓范数等价，意思就是说，想要得到向量的某种性质，无论用哪种范数来估计，都可以获得，因为各种范数之间可以相互控制。也就是说，使用向量的范数做估计（比如误差估计），用哪种范数方便就用哪种，得到的结论本质上都是一致的。

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8. 矩阵算子范数与向量范数有何关系，常用算子范数有哪三种？

• 关系为：\(\|A\|=\max _{x \neq 0} \frac{\|A x\|_{v}}{\|x\|_{v}}\)

• 常用的三种算子范数为: 1-范数 \(\|A\|_{1}=\max _{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right|\)

• 无穷大范数 :\(\|A\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|\)

• 2-范数 :\(\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max }\left(A^{T} A\right)}\)

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9. 矩阵条件数和线性方程组的条件数是同一个概念吗？

不是同一个概念，线性方程组的条件数是衡量方程组病态程度的一个 指标，而当矩阵的条件数是相当于方程组提出时，它俩是一个概念，而当矩阵的条件数不是相对于方程组提出时，就不是一个概念。

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10. 叙述平面三点定位的数学原理。写出数学模型。

• 平面三点定位可看作定位点在三台定位装置的中心处。通过三台定位装置测量到定位点的距离来估算出定位点的大致坐标位置。
• 如图课件里数学模型：

\[\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} \left(x_{1}-x\right)^{2}+\left(y_{1}-y\right)^{2}=d_{1}^{2} \\ \left(x_{2}-x\right)^{2}+\left(y_{2}-y\right)^{2}=d_{2}^{2} \\ \left(x_{3}-x\right)^{2}+\left(y_{3}-y\right)^{2}=d_{3}^{2} \end{array}\right. \\ &\left\{\begin{array}{l} \left(x_{2}-x_{1}\right) x+\left(y_{2}-y_{1}\right) y=b_{1} \\ \left(x_{3}-x_{1}\right) x+\left(y_{3}-y_{1}\right) y=b_{2} \end{array}\right. \end{aligned} \]

其中

\[b_{1}=\frac{-\left[d_{2}^{2}-d_{1}^{2}+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right]}{2} \]

\[b_{2}=\frac{-\left[d_{3}^{2}-d_{1}^{2}+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)\right]}{2} \]

线性方程组:

\[\left[\begin{array}{ll} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \end{array}\right] \]

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来源： https://www.cnblogs.com/An-eagle-on-the-grassland/p/15483538.html