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翻阅一篇博士论文中，从未学习到的点，故本篇转载作为学习理解马尔科夫过程、主方程相关内容

先百度百科简要了解：

马尔可夫过程_百度百科 (baidu.com)

搜索主方程只有一份PDF（第二章 主方程(Master equation) (ustc.edu.cn)）、知乎和本篇内容，本篇在SEO中最前，其余可见：如何理解马尔科夫过程的主方程的推导过程？ - 知乎 (zhihu.com)

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主方程（master equation）是对随机过程进行建模的重要方法，它代表着马尔科夫过程的微分形式，我们的专业主要工具之一就是主方程，说宏大一点，量子力学和统计力学等也不外乎是主方程的一个特例。

然而，笔者阅读了几个著作，比如《统计物理现代教程》，还有我导师的《生物系统的随机动力学》，我发现这些著作对于主方程的推导都很模糊，他们在着力解释结果的意义，但并不说明结果的思想来源，因此其过程难以让人信服。而知乎上有人提问《如何理解马尔科夫过程的主方程的推导过程？》但没有得到很好的答案，也表明了这个事实。

1、马尔科夫过程

主方程是用来描述马尔科夫过程的，而马尔科夫过程可以理解为运动的无记忆性，说通俗点，就是下一刻的概率分布，只跟当前时刻有关，跟历史状态无关。用概率公式写出来就是（这里只考虑连续型概率，因此这里的p是概率密度）:

这里的积分区域是全空间。这里的p(x,τ|y,t)称为跃迁概率，即已经确定了t时刻来到了y位置后、在τ时刻达到x的概率密度，这个式子的物理意义是很明显的，就不多做解释了。

尽管(1)式很直观，但用它来建模实际上存在两个比较困难的问题:

1、为了建模就得写出p(x,τ|y,t)，而事实上我们很难直接写出一个合理的跃迁概率出来；

2、即使写出来p(x,τ|y,t)，方程是一个积分方程，而我们对积分方程的研究远不如微分方程。

因此，有必要写出它的微分方程形式。

2、主方程

我们设τ=t+ϵ

并且考虑ϵ→0的极限，保留到ϵ的一阶项，我们有

其中用到了p(x,t|y,t)=δ(x−y)这个事实，而

我们对(2)式两边都展开ϵ到一阶项，得到

故

3、更便于建模

读者可以发现，(6)式并非我们常见的主方程的形式，这是因为它不方便建模。我们再来看(3)式，注意我们有

因此结合(3)式，则必须要求

科研中的建模过程是反过来的：需要先写出主方程的形式，然后去求解主方程。也就是说，为了用(6)式建模，则需要写出W~(x,y,t)，而W~(x,y,t))要满足(8)式的约束条件，但我们很难凭空写出一个W~(x,y,t)同时又满足这个约束。

幸运的是，我们可以用一个技巧来去掉这个约束。首先我们写出一个任意的函数W~(x,y,t)，然后考虑

从而我们可以让

那么它自动地满足(8)式，最终主方程的形式变为

这就是我们在教科书上能看到的主方程的形式，这时候对W~(x,y,t)则没有特别的约束了，因此可以方便地用它来建模。至于对W~(y,x,t)的物理意义的诠释，则是后话了。类似的推导过程可以平移到离散型的主方程，也不再赘述。

4、一点评价

从上面的过程可以看到，主方程之所以是我们经常看到的形式，是因为那种形式更方便我们进行建模，至于对结果的诠释，本质上来说都是强加的，不能算作推导过程。而多数著作对主方程的推导，侧重于对结果的物理诠释，对方程的形式的来源不加详述，是引起我们理解上的困难的重要原因之一，希望这里的文字可以对此做些补充。

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来源： https://www.cnblogs.com/wangzheming35/p/15465832.html