容斥原理

定理

设S是一个有限集，\(A_1,A_2,···,A_n\)是S的n个子集，则
\(|S-\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{i=0}^n(-1)^i\cdot\sum_{1 \leq j_1\leq j_2···\leq j_i\leq n}|\bigcap_{k=1}^{i}A_{j_k}|\)\((\bigcap \emptyset=S)\)
若\(x\in S-\bigcup_{i=1}^{n}A_i\)，在\(i=0\)时被算了1遍
若\(x\in \bigcup_{i=1}^nA_i,x\in A_{k1},A_{k2},A_{k3}···,A_{kl}\),
\(\sum_{i=0}^l (-1)^i\cdot{l \choose i}=(1-1)^l=0\)，因此x会被算0遍
综上该公式等式两边成立

标签：cdot,nA,sum,容斥,bigcup,leq,bigcap,原理
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