有关等周定理的一些学习

PS：本文仅供作者本人记录学习所用，所述的证明大多是极其不严谨的，证明过程中只用了一些初等的几何知识内含大量显然，若想了解有关等周定理的严谨证明，请参阅：https://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality。（需要高数和积分知识）

为了方便描述，我们约定：

• 本文所提到的多边形均为简单多边形，且边数 \(n\geq3\)（复杂多边形我完全不了解）；
• 本文所提到的多边形均为等周长的，你可以理解为 #define 多边形 等周长多边形；
• 周长用 \(C\) 来表示；半周长用 \(P\) 来表示；面积用 \(S\) 来表示；边用小写字母 \(a,b,c,d\dots\) 表示，顶点和角用大写字母 \(A,B,C,D\dots\) 表示，皆从左上角开始，顺时针方向依次命名。

一、前言

起因是昨天组织的 \(21\) 级新生第一轮考核，里面有一道签到题是这样的：

简述一下题意就是：周长为一定值的封闭曲线所能围成的区域的最大面积是多少。

当初我自己做这道题的时候，想都没想就觉得一定是在围成圆时面积最大何况题面还提示了你要用圆周率，然后就理所当然地 \(AC\) 了；但在今年的新生考核中，却发现很多新生都倒在了这一题，在和队友们商量着写题解的事情时我突然意识到这个结论我完全不会证，和队友们商量了一下发现大伙也都不会一个能打的都没有，然后就有了想证明一下这个结论的想法，于是便有了本文。

二、证明思路

我们要证的是：

周长为定值的封闭曲线围成圆形时面积最大。（等周定理）

要初步地证明这个定理，我一开始的思路是，能否想办法证明以下两个命题为真：

命题1：正 \(n+1\) 边形的面积大于正 \(n\) 边形的面积；

命题2：给定边数的多边形集合中，正多边形的面积最大。

毕竟我们知道圆形其实可以等价为边数为 \(\infty\) 的正多边形，如果以上两个命题为真，则可粗略地认为得证了。（这样显然是极其不严谨的，但请原谅作者水平有限，只能想到这么多）

那么首先命题1显然为真且很好证明，据我同学所说他们高中老师就给他们证过了，这里就不多加赘述了。我其实不太会证

难证的是命题2，我的想法是先从三角形、四边形、五边形这种边数较少、看起来比较好证的多边形开始证起，找到它们证明时的共通点，最后利用数学归纳法推出这一猜想的正确性，先试试行不行。

一些前置引理

引理1：若存在某多边形的面积最大，则它一定不是凹多边形。

证明：对于一个凹多边形，我们肯定可以把他的某个“凹下去”的部分翻折一下，使其周长不变，但面积更大，如下图所示：

凹多边形ABDC的面积显然小于凸多边形ABD'C的面积

由于引理1的存在，我们只需讨论凸多边形即可，因此下文所提到的的多边形均为简单凸多边形。

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引理2：若一个多边形存在不相等的边，则至少有一对是邻边。

证明：反证法。假设一个多边形存在不相等的边，且这些不相等的边都不是邻边，那么每条边都和它的邻边相等，则这个多边形的每条边都相等，即不存在不相等的边，这与假设矛盾，故得证。

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引理3：若存在某多边形的面积最大，则它的各边相等。

证明：同样是反证法。假设一个多边形面积最大，为 \(S\)，且存在不相等的边，由引理2可知，至少有一对不相等的边是邻边，设为 \(a,b\)。
那么我们可以连接 \(AC\)，使 \(ABC\) 构成一个三角形，根据海伦公式和基本不等式，我们可以知道，当 \(a=b\) 时，\(S_{ABC}\) 为最大（若不太理解可以看下方命题3的证明）。
因此我们可以在保持 \(a\) 与 \(b\) 之和不变的前提下调整点 \(B\) 的位置（此时点 \(B\) 的轨迹是一个椭圆），使得 \(a=b\)。
设调整之后的新面积为 \(S'\)，显然有 \(S'>S\)，这与假设矛盾，故得证；换言之，如果某个多边形存在不相等的边，则我们一定可以通过上述的调整，使得它的面积变大，所以存在不相等的边的多边形一定不是面积最大的，即面积最大的多边形一定是各边都相等的。

  调整一下变为：

其实还有一个重要的大前提要证，即证明这样的面积最大的多边形真的存在，但这个就太难证了，完全没有思路，咱们就默认吧，肯定是存在的。所以说本文不够严谨啊啊啊啊

三角形

命题3：三角形中，正三角形面积最大。

根据海伦公式：\(\displaystyle S=\sqrt{P*(P-a)*(P-b)*(P-c)}\)，\(C\) 为定值，则 \(P\) 为定值，则 \((P-a)+(P-b)+(P-c)\) 为定值。
和为定值，则由基本不等式可得：当且仅当 \(P-a=P-b=P-c\) ，即 \(a=b=c\) 时，\((P-a)*(P-b)*(P-c)\) 取到最大值，此时 \(S\) 最大，因此，命题3为真。

四边形

命题4：四边形中，正四边形面积最大。

由引理3可知，面积最大的四边形一定是个菱形，而对于任意的菱形 \(ABCD\)，连接对角线 \(AC\)，把菱形分为 \(ABC\) 和 \(ADC\) 两个三角形，有：$$\displaystyle S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}=\frac 12ab\sin B+\frac 12cd\sin D=\frac 12ab(\sin B+\sin D)$$。
显然当 \(\sin B=\sin D=1\)，即 \(B=D=90°\) 时取到最大值，此时 \(ABCD\) 是一个正四边形，因此，命题4为真。

五边形

命题5：五边形中，正五边形面积最大。

同样地，由引理3可知，面积最大的五边形的五条边一定相等，但五条边相等的五边形一定是正五边形吗？显然不一定：

如图，\(\triangle ABC\) 是一个边长为 \(2\) 的等边三角形，\(ABCDE\) 是一个边长都为 \(2\) 的五边形，但它并不是正五边形，接下来怎么证呢？请看这里。
然后我就不会证了，欸嘿

标签：相等,多边形,定理,面积,命题,证明,学习,有关
来源： https://www.cnblogs.com/olderciyuan/p/15424376.html