势能函数和鞅的停时定理
作者:互联网
势能函数和鞅的停时定理
考虑随机事件序列 \(\{A_0,A_1,\cdots \}\) ,随机变量 \(T\) 为它的停时。我们希望求出 \(E(T)\) ,但一般来说较为困难,因此我们考虑构造一个势能函数 \(\Phi(A)\) ,满足:
- \(\Phi(A_{i})<\infty\) ;
- \(E(\Phi(A_{i+1})-\Phi(A_i))=-1\) 。
那么,我们令 \(X_i=\Phi(A_i)+i\) ,则有 \(E(X_{i+1}-X_i)=0\) 。
于是,我们发现 \(\{X_0,X_1,\cdots \}\) 是鞅,若 \(T\) 也是 \(\{X_0,X_1,\cdots \}\) 的停时,则有:
\[\begin{aligned}E(X_T)&=E(X_0)\\E(T)&=E(\Phi(A_0))-E(\Phi(A_T))\end{aligned} \]CF1025G Company Acquisitions
给定 \(n\) 个节点,每个节点有红/蓝的一个颜色。每个红点的儿子一定是蓝点,每个蓝点只有红爸爸。
每次随机两个红点 \(A,B\),随机一个红点(比如 \(B\))变成蓝点,接到 \(A\) 的儿子,并把 \(B\) 的所有儿子变成红点。
求只剩下一个红点的期望操作次数。
Solution
定义 \(c_i\) 表示 \(i\) 后面跟着几个点,我们考虑构造一个势能函数 \(\Phi(x)\) ,使得 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Phi(c_i)\) 的变化量是个常量。
不妨假设随机的两个点的 \(c\) 值是 \(a, b\) ,那么就有:
\[\Phi(a)+\Phi(b)+1=\frac 12(\Phi(a+1)+(b-1)\Phi(0))+\frac 12(\Phi(b+1)+(a-1)\Phi(0)) \]我们钦定 \(\Phi(0)=0\) ,那么:
\[\Phi(a)+\Phi(b)+1=\frac 12(\Phi(a+1)+\Phi(b+1)) \]由于它对任意 \(a,b\) 均成立,因此:
\[\begin{aligned}2\Phi(a)+1&=\Phi(a+1)\\\Phi(a)&=2^a-1\end{aligned} \]于是,起始态就是 \(E=\sum\limits_{i=1}^{n}2^{c_i}-1\) ,终止态就是 \(E'=2^{n-1}-1\) ,答案即为 \(E'-E\) 。
CF1575F Finding Expected Value
设有一个长为 \(n\) 的序列 \(b\) ,定义一次操作为随机选择一个下标 \(i\in [1,n]\) 和值 \(x\in [0,k)\) ,施 \(b_i\leftarrow k\) ,设 \(E(b)\) 表示期望操作次数,使得 $b_i $ 全相等。
给定一个长为 \(n\) 的序列 \(a\) ,满足 \(a_i\in [-1,k)\) 。将 \(a_i=-1\) 的位置随机填入 \([0,k)\) ,求 \(E(a)\) 的期望值。
\(2\le n\le 10^5,2\le k\le 10^9,-1\le a_i<k\) 。
Solution
先考虑如何计算 \(E\) ,定义 \(occ(x)\) 表示 \(x\) 在 \(b\) 序列中的出现次数,考虑构造势能函数满足 \(f_t=\sum\limits_{i=0}^{k-1}\Phi(occ_t(i))\) 。
\[E(f_{t+1}-f_t)=-1\\\sum_{i=0}^{k-1}\Phi(occ_{t+1}(i))=\sum_{i=0}^{k-1}\Phi(occ_t(i))-1\\\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\Phi(occ_{t}(i))+\sum_{x=0}^{k-1}\sum_{y=0}^{k-1}[x\neq y]\frac{occ_t(x)}{nk}\left(\sum_{i=0}^{k-1}\Phi(occ_t(i))- \\\Phi(occ_t(x))-\Phi(occ_t(y))+\Phi(occ_t(x)-1)+\Phi(occ_t(y)+1)\right)=\sum_{i=0}^{k-1}\Phi(occ_t(i))-1 \]化简可得:
\[\sum_{x=0}^{k-1}\frac{(k-1)occ_t(x)}{nk}\left(\Phi(occ_t(x)-1)-\Phi(occ_t(x))\right)+\\\frac{n-occ_t(x)}{nk}\left(\Phi(occ_t(x)+1)-\Phi(occ_t(x))\right)+\frac{occ_t(x)}{n}=0 \]我们希望对于每个 \(x\) ,它都等于 \(0\) 。令 \(a=occ_t(x)\) ,则:
\[\frac{(k-1)a}{nk}(\Phi(a-1)-\Phi(a))+\frac{n-a}{nk}(\Phi(a+1)-\Phi(a))+\frac{a}{n}=0 \]化简得:
\[\Phi(a+1)=\frac{1}{a-n}\left((k-1)a\Phi(a-1)+(2a-ak-n)\Phi(a)+ak\right) \]因此,只需要构造的 \(\Phi\) 符合上述递推式即可。
回到原题,我们可以 \(\mathcal O(n)\) 快速计算某个确定的 \(b\) 序列的期望。注意到对于每种数 \(x\) 的贡献是独立的,且只和出现次数相关。因此如果 \(a\) 序列中(剔除 \(-1\))两种数出现次数相同,它对答案的贡献是相同的。
由于至多有 \(\sqrt{n}\) 种不同出现次数,因此总时间复杂度 \(\mathcal O(n\sqrt{n})\) 。
当然,你可以卷积做这事,复杂度优化到 \(\mathcal O(n\log n)\) 。
标签:停时,势能,le,frac,occ,Phi,nk,sum,定理 来源: https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/15365571.html