bsgs学习笔记
作者:互联网
bsgs
问题一:
若 ( a , p ) = 1 , p (a,p)=1,\;p (a,p)=1,p 是素数, 求方程 a x ≡ b ( m o d p ) a^x\equiv b\pmod p ax≡b(modp) 的(最小非负)解
引理: a k ≡ a k m o d p − 1 m o d p a^k \equiv a^{k \; mod \; p-1} \mod p ak≡akmodp−1modp
即k大于p-1后存在循环节,所以原方程若存在解x,则x<p-1
将x写成带余除法的形式:x=Am-B(和写成Am+B一个道理)
a A m − B ≡ b ( m o d p ) a^{Am-B} \equiv b \pmod p aAm−B≡b(modp) 可化为 a A m ≡ b a B ( m o d p ) a^{Am} \equiv ba^B \pmod p aAm≡baB(modp),1<=A<=p/m, 0<=B<m
枚举B,将 b a B ba^B baB 映射到unordered_map。再枚举A,依次判断是否存在 b a B ba^B baB 和当前的 a A m a^{Am} aAm 相等,如果相等Aim-B就是答案。时间复杂度O(max{p/m,m}),所以当 $ m=\sqrt p$ 时时间复杂度最优。
扩展1:
若 ( a , p ) = 1 , p (a,p)=1,\;p (a,p)=1,p 不一定是素数, 求方程 a x ≡ b ( m o d p ) a^x\equiv b\pmod p ax≡b(modp) 的(最小非负)解
引理(欧拉定理):
设 ( a , m ) = 1 (a,m)=1 (a,m)=1 , 则有 a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m aφ(m)≡1(modm)
所以有: a k ≡ a k m o d φ ( m ) m o d p a^k \equiv a^{k \; mod \; \varphi(m)} \mod p ak≡akmodφ(m)modp
如果有解,那么一定存在x小于 φ ( m ) \varphi(m) φ(m)
模板题:P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS
代码实现:
ll bsgs(ll a, ll b, ll p) //解a^x=b(mod p)
{
unordered_map<ll,int> mp;
a%=p, b%=p;
if (b==1) return 0;
ll k=sqrt(p+0.5);
for (int i=0, j=b; i<k; i++) //枚举B
{
mp[j]=i;
j=j%p*(a%p)%p;
}
ll num=fpow(a,k,p);
for (int i=1, j=num; i<=k+2; i++) //枚举A
{
if (mp.find(j)!=mp.end()) return k*i-mp[j];
j=j%p*(num%p)%p;
}
return -1;
}
//注意A,B的范围。A是[ 1,sqrt(p)+2 ],B是[ 0,sqrt(p) )
拓展2:
若 ( a , p ) = 1 (a,p)=1 (a,p)=1 不一定成立 , 求方程 a x ≡ b ( m o d p ) a^x\equiv b\pmod p ax≡b(modp) 的(最小非负)解
设 ( a , p ) = d (a,p)=d (a,p)=d ,那么原方程可化为 a c a x − 1 ≡ b d ( m o d p d ) {\frac{a}{c}a^{x-1}}\equiv \frac{b}{d} \pmod {\frac{p}{d}} caax−1≡db(moddp) ,依次类推,直至 ( a , p d c n t ) = 1 (a,\frac{p}{d^{cnt}})=1 (a,dcntp)=1 为止,然后进行依次一般的bsgs即可
代码实现:
ll gcd(ll a, ll b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); }
ll fpow(ll base, ll n, ll mod)
{
ll ans=1;
while(n)
{
if (n&1) ans=(ans%mod*base%mod)%mod;
base=(base%mod*base%mod)%mod;
n>>=1;
}
return ans;
}
ll bsgs(ll a, ll b, ll p, ll ad)
{
map<ll,int> mp;
a%=p, b%=p;
ll k=sqrt(p+0.5);
for (int i=0, j=b; i<k; i++)
{
mp[j]=i;
j=j%p*(a%p)%p;
}
ll num=fpow(a,k,p);
for (ll i=1, j=num; i<=k+2; i++)
{
if ( mp.find(j%p*(ad%p)%p)!=mp.end() ) return k*i-mp[j%p*(ad%p)%p];
j=j%p*(num%p)%p;
}
return -1;
}
ll ex_bsgs(ll a, ll b, ll p)
{
a%=p, b%=p;
if (b==1 || p==1) return 0;
ll cnt=0;
ll d, ad=1;
while((d=gcd(a,p))^1) //一直除到gcd(a,p)=1为止
{
if (b%d) return -1; //除不下去就无解
cnt++; //记录除了几次
b/=d, p/=d;
ad=ad%p*(a/d)%p;
if (ad==b) return cnt;
}
ll ans=bsgs(a,b,p,ad);
if (ans==-1) return -1;
return ans+cnt;
}
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