为什么学高数？

锻炼自己的思维，以防老年痴呆。

如何服用高等数学？（学习方法）

做题不盲目做，一点点增加难度，难题一定要自己做出来不急于求成知道答案，过程对你很重要。

课程目标：

1、微积分/代数/概率统计;

2、基础课程/提高课程;

3、保持适当的题量;
4、以逻辑符号来叙述;

一、函数

学高数之前先衔接一下高中的函数。

1、实数

 

任意两个有理数之间都包含着无穷多个有理数，此即所谓的有理数集的稠密性；

有理数与无理数的全体称为实数，这样就把有理数集扩展到了实数集。

集合的分类

　　(1) 集合依据其所含元素的个数可分为有限集和无限集。含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集。

　　(2) 集合按元素的属性可分为数集、点集与其他集合。

自然数集记为N，整数集记为Z，有理数集记为Q，实数集记为R，这些数集间的关系如下：

区间是数学中常用的实数集。我们在高中阶段已学习过区间的概念，为应用方便，再做如下总结。

　　区间分为有限区间和无限区间两类。

（1）有限区间

 

（2）无限区间

 2、领域

 3、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型。

映射与一一映射(对应)

　　1、映射的定义
　　设是两个非空集合，若对于集合中的任意一个元素，按照某一个确定的对应关系，在集合中都存在唯一确定的元素与之对应，则称对应

为从集合到集合的一个映射。

　　2、一一映射(对应)的定义
　　设是两个非空集合，是集合到集合的映射，若在这个映射下，集合中的不同元素在集合中有不同的像，而且中每一个元素都有原象，则这个映射称为从到的一一映射，也称为与之间的一一对应。

　　注：映射与函数的联系的区别
　　函数是定义在两个数集上的，但映射定义在一般的集合(如数集、点集以及由图形等组成的集合)上，故函数一定是映射，但映射不一定是函数。

 

常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量；

变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；

该函数图像为

扩展

学过的常用函数的定义域：

　　(1) 比例函数、一次函数与二次函数的定义域为实数集；

　　(2) 反比例函数的定义域是使分母不等于零的实数的全体，即

；

进一步，如果是分式函数，则其定义域为使其分母不为零的实数的全体。

　　(3) 二次根式函数的定义域：

 

 函数相等及其判定

 注1：函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素。两函数相等的充要条件是其定义域与对应法则相同，而函数的自变量用什么字母表示无关，此即函数自变量表示的无关性。

例题：

 

二、映射与集合

在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。 基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。

• 单射：指将不同的变量映射到不同的值的函数。
• 满射：指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
• 双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。）

 

 

 

标签：函数,映射,实数,定义域,元素,集合,菜鸡学,高数
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