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【随笔浅谈】splay 时间复杂度简要分析

作者:互联网

势能分析

在数据结构问题中,我们往往难以估计第 \(i\) 次的实际时间开销 \(t_i\)。

所以我们要引入一些势能分析的概念:

注意:确定势能值的势函数是需要我们自己确定的,寻找一个优秀的势函数往往可以更容易解决问题。

假设执行了 \(m\) 次操作,那么总的实际时间为:

\[\sum\limits_{1 \leq i \leq m} t_i = \sum\limits_{1 \leq i \leq m} a_i + \phi_0 - \phi_m \]

所以知道了 \(a_i, \phi\) 的复杂度就可以求出总的实际时间了。

splay 的复杂度分析

在 splay 中,我们取这样的一个势函数:

接下来要证明的结论是:

\[\begin{aligned}a_i & \leq 3(F(x') - F(x)) + 1 \\& = \mathcal{O}\left(\log \frac{n}{\text{size}_x}\right) = \mathcal{O}(\log n)\end{aligned} \]

其中 \(F(x), F(x')\) 分别表示伸展 \(x\) 前和伸展 \(x\) 后节点 \(x\) 的势能值。

双旋 splay 的三种旋转

来回顾一下双旋 splay 的三种旋转:

  1. 当 \(x\) 的父亲 \(p\) 是根节点时,直接 zig/zag \(x\)。

  2. 当 \(x\) 和上两代祖先位于一条链上:先 zig/zag \(p\),再 zig/zag \(x\)。

  3. 当 \(x\) 和上两代祖先是分叉时:先 zig/zag \(x\),再 zig/zag \(x\)。

第一种旋转的均摊分析(以 zig 为例)

单旋.png

简单分析一下:

所以可以得到:

\[\begin{aligned}a_{\text{zig}} & = 1 + F(x') + F(y') - F(x) - F(y) \\& = 1 + F(y') - F(x)\end{aligned} \]

适当放缩得:

\[a_{\text{zig}} \leq 3(F(x') - F(x)) + 1 \]

第二种旋转的均摊分析(以 zig-zig 为例)

第二种旋转.png

简单分析一下:

所以可以得到:

\[\begin{aligned}a_{\text{zig-zig}} & = 2 + F(x') + F(y') + F(z') - F(x) - F(y) - F(z) \\& = 2 + F(y') + F(z') - F(x) - F(y)\end{aligned} \]

然后你发现这个多出来的 \(2\) 非常令人不爽。

注意到:

\[F(x) + F(z') - 2 \cdot F(x') \leq \log \frac{\text{size}_x \cdot \text{size}_{z'}}{\text{size}^2_{x'}} \leq -2 \]

(将上式对数的底数看成 \(2\),用均值不等式即可证明,大家都会。)

然后将这两个式子合并可以得到:

\[a_{\text{zig-zig}} \leq 2 \cdot F(x') + F(y') - 2 \cdot F(x) - F(y) \]

适当放缩得:

\[a_{\text{zig-zig}} \leq 3(F(x') - F(x)) \]

第三种旋转的均摊分析(以 zig-zag 为例)

第三种旋转.png

简单分析一下:

所以可以得到:

\[\begin{aligned}a_{\text{zig-zag}} & = 2 + F(x') + F(y') + F(z') - F(x) - F(y) - F(z) \\& = 2 + F(y') + F(z') - F(x) - F(y)\end{aligned} \]

注意到:

\[F(x) + F(z') - 2 \cdot F(x') \leq \log \frac{\text{size}_x \cdot \text{size}_{z'}}{\text{size}^2_{x'}} \leq -2 \]

然后将这两个式子合并可以得到:

\[a_{\text{zig-zag}} \leq 2 \cdot F(x') + F(y') - 2 \cdot F(x) - F(y) \]

适当放缩得:

\[a_{\text{zig-zag}} \leq 3(F(x') - F(x)) \]


根据上述证明,我们可以知道,在一次操作中,伸展一个节点 \(x\) 的时候,将每次旋转的贡献式子连接起来,消除相邻的项,然后就可以得到:

\[\begin{aligned}a_i & \leq 3(F(x') - F(x)) + 1 \\& = \mathcal{O}\left(\log \frac{n}{\text{size}_x}\right) = \mathcal{O}(\log n)\end{aligned} \]

然后你会发现:

于是 splay 的时间复杂度即为 \(\mathcal{O}((n + m) \log n)\)。

标签:势能,浅谈,zig,text,复杂度,phi,splay,leq,log
来源: https://www.cnblogs.com/cjtcalc/p/15204315.html