【题解】CF1466H Finding satisfactory solutions

洛谷的题面是经过转化的，但是为了翻译就直接看了洛谷的题面。

首先所有白色边一定连成若干环，黑色边一定满足如下要求：同一白色环的两点之间没有黑色边，不同白色环中的黑色边不属于仍以一个环。

注意到如果将白色环缩为点，那么第二个条件可以表示成：在点与点之间连边使得最后形成 DAG 。

DAG 计数是经典套路了，具体方式为：令 \(f_S\) 表示点集 \(S\) 连为一个 DAG 的方案数，转移可以考虑入度为 \(0\) 的点集 \(T\)，注意到不能保证剩下的点中全部入度非零，所以转移的时候还需要带上系数 \((-1)^{|T|+1}\) 。

因为不需要知道点的标号，只需要知道环的大小，所以可以将状态压一压，有效的状态个数极少，直接做就行。

考虑一下系数：\(h(i,j)\) 表示 \(i\) 个点向 \(j\) 个点连边（这 \(i\) 个点都只能连这 \(j\) 个点中的点），那么有 \(h(i,j)=g(j)^i\)，其中 \(g(j)\) 表示一个点连 \(j\) 个点的方案，枚举连出的边数 \(0\leq k\leq j\)，然后用组合数计算即可。

关于容斥系数：考虑构造容斥系数 \(f_i\) 表示 \(|T|=i\) 时的容斥系数，注意到一个入度为 \(0\) 的点集 \(T\) 被计算的次数应当为：

\[\sum_{U\subseteq T,U\not=\empty}f_{|U|}=\sum_{i=1}^{|T|}{|T|\choose i}f_{i}=1 \]

注意到 \(f_i=(-1)^{i+1}\) 恰好满足要求（可以考虑 \(f_i=(-1)^i\)，通过二项式定理发现右边此时为 \(-1\)，所以 \(f_{i}=(-1)^{i+1}\)）。

代码：Submission #127315323 - Codeforces

标签：satisfactory,系数,个点,题解,入度,容斥,点集,DAG,Finding
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