「primitive root」
作者:互联网
阶(multiplicative order)
\(\textbf{Def.}\):\(\delta_m(a)\) 为最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod m\),其中 \((a,m)=1\)。
Observation 1:\(\boxed{a^0\not\equiv a^1\not\equiv\dots\not\equiv a^{\delta_m(a)-1}\pmod m}\)。
\(\textbf{Proof}\):若 \(\exists i,j,s.t.0\leqslant i<j<\delta_m(a),a^i\equiv a^j\pmod m\),则 \(a^{i-j}\equiv 1\pmod m\),又 \(i-j<\delta_m(a)\),矛盾。
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Observation 2:\(\boxed{\delta_m(a)\mid\varphi(m)}\)。
\(\textbf{Proof}\):由欧拉定理: \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\),因为 \(1^x=1\),所以如果存在 \(x_0\) 使得 \(a^{x_0}\equiv 1\pmod m\),那么 \(x_0\) 倍数也一定可以,也就是说存在周期性,所以 \(\delta_m(a)\mid\varphi(m)\)。BTW,同时也有若 \(a^n\equiv 1\pmod m\),则 \(\delta_m(a)\mid n\)。
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顺便可以知道若 \(a^p\equiv a^q\pmod m\),则 \(p\equiv q\pmod{\delta_m(a)}\)。
Lemma 1:设 \(m\in\mathbb{N}^*\),\(a,b\in\mathbb{Z}\),\((a,m)=(b,m)=1\),则 \(\boxed{\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)}\) 的重要条件是 \((\delta_m(a),\delta_m(b))=1\)。
\(\textbf{Proof}\):略,具体见此处。
Lemma 2:设 \(k\in\mathbb{N}\),\(m\in\mathbb{N}^*\),\(a\in\mathbb{Z}\),\((a,m)=1\),则 \(\boxed{\delta_m(a^k)=\frac{\delta_m(a)}{(\delta_m(a),k)}}\)。
\(\textbf{Proof}\):略,具体见此处。
原根(primitive root)
\(\textbf{Def.}\):对于 \((a,m)=1\),若 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\),则称 \(a\) 是模 \(m\) 的原根。
Lemma 1(判定定理):设 \(m\geqslant3\),\((a,m)=1\),则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根当且仅当 \(\boxed{\forall p\in\mathbb{P},p\mid\varphi(m),a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv1\pmod m}\)。
\(\textbf{Proof}\):必要性显然,充分性证明见此处。
Lemma 2(数量定理):若 \(m\) 存在原根,则其原根数量为 \(\boxed{\varphi(\varphi(m))}\)。
\(\textbf{Proof}\):略,具体见此处。
Lemma 3(存在定理):\(m\) 存在原根当且仅当 \(\boxed{m=2,4,p^\alpha,2p^\alpha}\),其中 \(p\) 为奇素数,\(a\in\mathbb{N}^*\)。
\(\textbf{Proof}\):略,具体见此处。
若 \(m\) 存在原根,则最小原根 \(\leqslant m^\frac{1}{4}\)。
标签:primitive,原根,pmod,varphi,textbf,delta,root,equiv 来源: https://www.cnblogs.com/orchid-any/p/15156590.html