题面

已知： $a,b,c \in \mathbb{R} $

求证 ：$a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3} $

法一

考虑数形结合。

前置知识

平面 \(\alpha : Ax+By+Cz+D=0\)

球：\(\left ( x-a \right ) ^2+\left ( y-b \right ) ^2+\left ( z-c \right ) ^2=R^2\)

点 $\left ( a,b,c \right ) $ 到平面 \(\alpha : Ax+By+Cz+D=0\) 的距离公式： $ d=\frac{\left | Aa+Bb+Cc+D \right | }{\sqrt{A^{2}+B{2}+C^{2} } $

下证

设 \(d^{2} \le a^{2} + b^{2} + c^{2}\) ， \(d\) 是以 \(\left ( 0,0,0 \right )\) 为球心的半径，则可转化为 \(\left ( 0,0,0 \right )\) 到平面的距离问题。

设 \(a+b+c=k \Rightarrow a+b+c-k=0\)

则此时，平面 \(\alpha : a+b+c-k=0\)

则有， $ d=\frac{\left | -k \right | }{\sqrt{3} } =\frac{\left | k \right | }{\sqrt{3} } \Rightarrow d^2 = \frac{ k^2 }{3 }\Rightarrow d^2 = \frac{ \left ( a+b+c \right ) ^2 }{3 }$

$\therefore d^2 \le a^{2} + b^{2} + c^{2}\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge \frac{ \left ( a+b+c \right ) ^2 }{3} $

得证！

取等条件

当且仅当 \(a=b=c=\frac{ k }{3}\) 时，可以取得等号。

注：该证法若在解答题中（即题目中给出 \(k\) 的值，求 \(a^2+b^2+c^2\) 的最小值）则没有问题。但若在证明题中，则证明可能略失严谨。限于笔者水平，若有疏漏处，望读者指正。

法二

考虑均值不等式。

前置知识

均值不等式：

$ \begin{array}{c}
H_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}+ \cdots + \frac{1}{x_{n}}} \ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} \ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n} \ Q_{n}=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}{2}}= \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}} \ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}
\end{array} $

下证

由均值不等式得： \(\left\{ \begin{aligned} a^2+b^2 \ge 2ab \\ b^2+c^2 \ge 2bc \\ c^2+a^2 \ge 2ca \\ \end{aligned} \right.\)

或由此可证:

$ \left ( a-b \right )^2+ \left ( b-c \right )^2 + \left ( c-b \right )^2 \ge 0$

$\Rightarrow 2 \left ( a^2+b2+c^2 \right ) \ge 2 \left ( ab+bc+ca \right ) $

$\Rightarrow a^2+b2+c^2 \ge ab+bc+ca $

由 $ 2 \left ( a^2+b2+c^2 \right ) \ge 2 \left ( ab+bc+ca \right ) $ 可得：

$3 \left ( a^2+b2+c^2 \right ) \ge \left ( a+b+c \right )^2 \Rightarrow a^2+b2+c^2 \ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3} $

得证！

由 $ a^2+b2+c^2 \ge ab+bc+ca$ 可得：

$ \left ( a+b+c \right )^2 \ge 3 \left ( ab+bc+ca \right )^2 \Rightarrow \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}\ge ab+bc+ca $

故上述结论可补充为： \(a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}\ge ab+bc+ca\)

取等条件

当且仅当 \(a=b=c\) 时，可以取得等号。

法三

考虑柯西不等式。

前置知识

柯西不等式 ：
\(\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \sum_{i=1}^{n} b_i \ge \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i b_i \right ) ^2\)

下证

将 \(\left\{ \begin{aligned} a_1 =a \\ a_2 =b \\ a_3 =c \end{aligned} \right.\) 与 \(\left\{ \begin{aligned} b_1 =1 \\ b_2 =1 \\ b_3 =1 \end{aligned} \right.\) 带入柯西不等式可得：

\(\left (a^2+b^2+c^2 \right ) \left (1^2+1^2+1^2 \right ) \ge \left (a+b+c \right ) ^2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2}\ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}\)

得证！

取等条件

当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1}= \frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}\Rightarrow a=b=c\) 时，可以取得等号。

法四

考虑幂平均不等式。

前置知识

幂平均：若 $p \in \mathbb{R} $ 且 $ p \neq 0$ ，我们可以定义 $a_1,a_2, \dots ,a_n \left ( a_1, a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R} \right ) $ 指数为 \(p\) 的幂平均为 $M_p\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) = \left ( \frac{a_1^p+a_2p+\dots+a_n^p}{n} \right ) ^\frac{1}{p} $ 。

同时定义： $M_0\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) = \lim_{p \to 0} M_p\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right )=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\dots {} a_n} $

幂平均不等式：如果 $ p \lt q $ ，则 \(M_p\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \le M_q\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right )\)

于是，均值不等式就是幂平均不等式的一个特例：

$M_{-1}\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \le M_0\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right )\le M_1\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \le M_2\left ( a_1,a_2,\dots ,a_n \right ) \Rightarrow H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n} $

下证

设 $M_1\left ( a,b,c \right )=\frac{a+b+c}{3} $ ，$M_2\left ( a,b,c \right )=\left ( \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \right ) ^\frac{1}{2} $

\(\therefore M_1\left ( a,b,c \right ) \le M_2\left ( a,b,c \right )\Rightarrow \frac{a+b+c}{3} \le\left ( \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \right ) ^\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{9} \le \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \frac{\left ( a+b+c \right ) ^2}{3}\)

得证！

取等条件

当且仅当 \(a_1=a_2=a_3\Rightarrow a=b=c\) 时，可以取得等号。

鸣谢

感谢 \(zps,xhz,psr\) 神仙的帮助QwQ

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