关于求解某数所有因子欧拉函数的复杂性分析

【命题】

对于给定数 \(n\) ，求解其所有因子的欧拉函数值

本文不讨论朴素做法，仅讨论两种较为常用的求解方法

【法一】

根据公式 \(\boldsymbol \varphi(n)=n\prod_{i=1}^m (1-{1\over p_i})\)，其中 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^m p_i\)

对于 \(n\) 的每个因子 \(d\) ，暴力查询 \(\sqrt d\) 范围内的质因子，并筛除

最后核验 \(d\) 是否存在大于 \(\sqrt d\) 的质因子，若存在，则再计算该质因子贡献

int phid=d;
for(int i=2;i*i<=d;++i) if(d%i==0) {
    while(d%i==0) d/=i;
    phid=phid/i*(i-1);
}
if(d>1){
    phid=phid/d*(d-1);
}

复杂度计算时，考虑 \(n\) 不大于 \(\sqrt n\) 的因子最多 \(\sqrt n\) 个，故不小于 \(\sqrt n\) 的因子与之成对出现，也不超过 \(\sqrt n\) 个

\(\displaystyle \quad T(n)\)

\(\displaystyle \leq\sum_{d=1}^{\sqrt n}(\sqrt d+{n\over \sqrt d})\)

\(\displaystyle =O(\int_1^{\sqrt n}\sqrt x\text dx)+n\cdot O(\int_1^{\sqrt n}{1\over \sqrt x}\text dx)\)

\(\displaystyle =O(x^{3\over 2}|_1^{\sqrt n})+n\cdot O(x^{1\over 2}|_1^{\sqrt n})\)

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