一阶常系数线性差分方程通解求法

最近遇到要求解此类差分方程的问题，查阅了相关资料，进行了完善并记录下来

求一阶常系数齐次线性差分方程的通解#
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为 yn+1−ayn=0,(a≠0)

迭代法#
给定初始值为 y0 ，则 y1=ay0,y2=ay1=a2y0,y3=ay2=a(a2y0)=a3y0,…,yn=any0

其中初始值 y0 为常数，令 y0=C ， 则通解可表示为 Yn=Can

当存在某一个 yx 已知时，将其代入通解，可以求得 C

特征根法#
将原方程变形 yn+1−ayn=0,(a≠0)⟺yn+1−yn+(1−a)yn=0⟺Δyn+(1−a)yn=0,(a≠0)

根据 Δλn=(λ−1)n 可以看出 yn 的形式一定为某一指数函数

设 yn=λn(λ≠0) ，代入原方程得 λn+1−aλn=0 ，即 λ−a=0⟺λ=a

于是 yn=an 是原方程的一个解，从而 yn=Can 是原方程的通解

举例#
【例1】求 yn+1−yn=0 的通解

【解】特征方程为 λ−1=0 ，解得特征根为 λ=1 ，所以原方程的通解为 Yn=C

【例2】求 yn+1−2yn=0 的通解

【解】特征方程为 λ−2=0 ，解得特征根为 λ=2 ，所以原方程的通解为 Yn=C⋅2n

【例3】已知 y0=1 ，求 yn+1+yn=0 的通解

【解】特征方程为 λ+1=0 ，解得特征根为 λ=−1 ，所以原方程的通解为 Yn=C(−1)n

将 y0=1 代入，得到 1=C(−1)0⟺C=1 ，所以原方程的通解为 Yn=(−1)n

求一阶常系数非齐次线性差分方程的通解#
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为 yn+1−ayn=f(n),(a≠0)

当 f(n)=0 时，方程为 yn+1−ayn=0 ，称它为原方程对应的齐次方程

一阶常系数非齐次线性差分方程的通解为对应的齐次方程通解 Yn 与原方程的特解 y∗n 之和，即 yn=Yn+y∗n

当 f(n) 为某些特殊类型的函数时，采用待定系数法求其特解 y∗n 较为方便

右端函数为m阶多项式类型#
原方程变形为 Δyn+(1−a)yn=f(n),(a≠0)

由于 f(n) 为多项式，因此 y∗n 也应该是多项式

当 a≠1 时，令 y∗n=θ0nm+θ1nm−1+⋯+θm

当 a=1 时，令 y∗n=n(θ0nm+θ1nm−1+⋯+θm)

举例#
【例1】求 yn+1−yn=n2 的通解

【解】对应的齐次方程为 yn+1−yn=0 ，特征方程为 λ−1=0 ，特征根为 λ=1 ，齐次方程的通解为 Yn=C

设原方程的特结为 y∗n=an3+bn2+cn ，代入原方程得 a(n+1)3+b(n+1)2+c(n+1)−an3−bn2−cn=n2

原方程要恒成立，用待定系数法得到 a=13,b=12,c=16

所以原方程的通解为 yn=13n3+12n2+16n+C

右端函数为指数函数与m阶多项式相乘#
设原方程为 yn+1−ayn=μnPm(n),(a≠0)

当 μ=0,1 时，属于上面一种情况

当 μ≠0,1 时，设 yn=μn⋅zn

代入原方程得 μn+1zn+1−aμnzn=μnPm(n)

消去 μn ，得 μzn+1−azn=Pm(n) ，就成为了上面一种类型，于是 y∗n=μn⋅z∗n

标签：方程,yn,Yn,差分,通解,求法,齐次,一阶常
来源： https://www.cnblogs.com/syqwq/p/15025206.html