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3D Vision 十讲:第二讲

作者:互联网

目录

四、3D投影几何以及变换

1、3D投影空间中的点

2、3D投影空间中的平面

3、3D投影空间中的二次曲面

4、投影相机

(1)投影相机定义

5、3D投影变换

(1)欧式变换

(2)相似变换

(3)仿射变换

(4)投影变换

(5)3D单应性矩阵在点、平面、二次曲面的使用


四、3D投影几何以及变换

在这一讲我们将会学习3D投影空间\mathbb{P}^{3}的几何性质,它的很多概念是由2D投影空间:即投影平面\mathbb{P}^{2}泛化得到。

1、3D投影空间中的点

2、3D投影空间中的平面

3D投影空间\mathbb{P}^{3}可以写成

\pi_{1}x_{1} + \pi_{2}x_{2} + \pi_{3}x_{3} + \pi_{4}x_{4} = 0

该式可以缩写称:

\pi \textbf{X}=0

其中\pi = (\pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3},\pi_{4})^{T},前面三个数字表示该平面的法向量。如果用非齐次坐标来表示,那么有\textbf{X} = (\widetilde{X},1)^{T},那么相应的\pi = (\textbf{n}, d)^{T},其中\textbf{n} = (\pi_{1},\pi_{2},\pi_{3})^{T},\widetilde{X} = (X,Y,Z)^{T},d = \pi_{4}。那么我们可以用非齐次的方式把上面的缩写写成:

\textbf{n}.\widetilde{X} +d =0

3、3D投影空间中的二次曲面

(1)3D投影空间中二次曲面的定义:

\textbf{X}^{T}Q\textbf{X} = 0

 (2)二次曲面的一些性质:

上图是一些二次曲面的例子

4、投影相机

(1)投影相机定义

\textbf{x}_{im} = P \textbf{X}_{w}

其中\textbf{X}_{w} \in \mathbb{P}^{3}表示世界坐标系中的点。\textbf{x}_{im} \in \mathbb{P}^{2}表示图像坐标点。

5、3D投影变换

对于齐次坐标的3D投影空间\mathbb{P}^{3}中的两个点\textbf{X}, \textbf{X}^{'},我们把它们之间的投影变换用一个4 \times 4的非奇异矩阵H,表示如下:

\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{llll} h_{11} & h_{12} & h_{13} & h_{14} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & h_{24} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} & h_{34} \\ h_{41} & h_{42} & h_{43} & h_{44} \end{array}\right) \mathbf{X}

\textbf{X}^{'} = H \textbf{X}

它的自由度为15,因为它去掉一个缩放因子。

(1)欧式变换

对于3D投影空间\mathbb{P}^{3}的齐次坐标点\textbf{X}, \textbf{X}^{'},欧式变换为:

\mathbf{X}^{\prime}=H_{e} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{rl} R & \vec{t} \\ \overrightarrow{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \mathbf{X}

它的自由度为6:3个为欧拉角转换到旋转矩阵R,3个为偏移向量\overrightarrow{t} = (t_{x}, t_{y}, t_{z})

它的不变量为:长度和角度

(2)相似变换

对于3D投影空间\mathbb{P}^{3}的齐次坐标点\textbf{X}, \textbf{X}^{'},相似变换为:

\mathbf{X}^{\prime}=H_{s} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc} s R & \vec{t} \\ \overrightarrow{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \mathbf{X}

和2D投影相似变换一样,它比欧式变换多了一个缩放因子,所以自由度为6+1=7。不变量为角度、长度比,面积比

(3)仿射变换

对于3D投影空间\mathbb{P}^{3}的齐次坐标点\textbf{X}, \textbf{X}^{'},仿射变换为:

\mathbf{X}^{\prime}=H_{\mathrm{a}} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{rr} A & \vec{t} \\ \overrightarrow{0}^{T} & 1 \end{array}\right) \mathbf{X}

仿射变换矩阵H_{a}的自由度为12,其中9个自由度为非奇异矩阵A,3个为偏移向量\overrightarrow{t}。不变量为平行性质、体积比、无穷远平面\pi_{\infty}

(4)投影变换

对于3D投影空间\mathbb{P}^{3}的齐次坐标点\textbf{X}, \textbf{X}^{'},投影变换为:

\mathbf{X}^{\prime}=H_{p} \mathbf{X}=\left(\begin{array}{rl} A & \vec{t} \\ \vec{v}^{T} & v \end{array}\right) \mathbf{X}

其中H_{p}为单应性矩阵:

H_{p}=\left(\begin{array}{llll} h_{11} & h_{12} & h_{13} & h_{14} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & h_{24} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} & h_{34} \\ h_{41} & h_{42} & h_{43} & h_{44} \end{array}\right)

它的自由度为15:16个自由度减去一个缩放因子。不变量为接触表面的接、交,以及交比。

(5)3D单应性矩阵在点、平面、二次曲面的使用

点:\textbf{X}^{'} = H \textbf{X}

面:\pi^{'} = H^{-T} \pi

二次曲面:Q^{\prime}=H^{-T} Q H^{-1}

标签:十讲,投影,二次曲面,齐次,空间,平面,Vision,3D
来源: https://blog.csdn.net/u010772377/article/details/118512441