川大2021校赛K题题解
作者：互联网
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简化题面：有一个长度为\(n\)的串\(S\)，\(m\)个询问，每次询问\(k\)个以\(p_i\)开始的后缀\(suf_i \ (suf_i=S[p_i,n],i \in [1,k])\)，求这些后缀两两之间的最长公共前缀的长度的和。（\(1\leqslant n \leqslant 5 \times 10^5,1 \leqslant m \leqslant 2000, \sum k \leqslant 5 \times 10^5\)）
这道题算是一道比较板儿的科技题，会相应的算法，这题就能做出来了。
首先看这种前后缀的公共部分，基本能想到SAM，我们只要把串线翻转一下，就变成SAM能做的不同前缀的公共后缀了。
而不同前缀的公共后缀就对应着后缀链接树上这两个节点的lca。所以问题演化为：求\(k\)个点两两之间的lca的权值和。
这个用树形dp可以在单次\(O(n)\)的时间复杂度下解决。
具体来说，就是动态的维护每一个节点子树中被标记的节点的个数。考虑节点\(u\)能成为多少个节点的lca：对于\(u\)的新的一棵子树\(v\)，他对答案的贡献就是\(v\)之前\(u\)的子树和\(siz[u]\)乘以\(siz[v]\)（注意，这个\(siz\)并不是子树大小，而是子树中被标记的点的个数）。
因为lca为\(u\)的子树中的点会在子树中被统计，lca为\(u\)的祖先的点会在\(u\)的祖先中统计，所以就能刚好不重不漏的统计出每个点成为lca的情况数了。
上述算法的单次查询复杂度为\(O(n)\)，而总复杂度\(O(nm)\)显然是不能接受的，观察到\(\sum k \leqslant 5 \times 10^5\)，就启发我们用虚树来优化上述的dp。
虚树能做到在多次询问的情况下，复杂度和询问的点数之和有关，所以复杂度降低成\(O(k\log n)\)（求lca用\(O(\log n)\)实现的）
比赛的时候卡在虚树的前一步，因为这东西早忘光了。
#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 5e5 + 5;
const int max2 = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
const int N = 20;
In ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), las = ' ';
while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(las == '-') ans = -ans;
return ans;
}
In void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
freopen("ha.in", "r", stdin);
freopen("ha.out", "w", stdout);
#endif
}
char s[maxn];
int n, m;
int a[max2], id[maxn];
struct Sam
{
int tra[max2][maxs], link[max2], len[max2], cnt, las;
In void init() {link[cnt = las = 0] = -1; Mem(tra[0], 0);}
In void insert(int c, int x)
{
int now = ++cnt, p = las; Mem(tra[now], 0);
len[now] = len[p] + 1, id[x] = now;
while(~p && !tra[p][c]) tra[p][c] = now, p = link[p];
if(p == -1) link[now] = 0;
else
{
int q = tra[p][c];
if(len[q] == len[p] + 1) link[now] = q;
else
{
int clo = ++cnt;
memcpy(tra[clo], tra[q], sizeof(tra[q]));
len[clo] = len[p] + 1;
link[clo] = link[q]; link[q] = link[now] = clo;
while(~p && tra[p][c] == q) tra[p][c] = clo, p = link[p];
}
}
las = now;
}
}S;
struct Edge
{
int nxt, to;
}e[max2];
int head[max2], ecnt = -1;
In void addEdge(int x, int y)
{
e[++ecnt] = (Edge){head[x], y};
head[x] = ecnt;
}
int dep[max2], fa[N + 2][max2], dfsx[max2], cnt = 0;;
In void dfs(int now, int _f)
{
dfsx[now] = ++cnt;
for(int i = 1; (1 << i) <= dep[now]; ++i)
fa[i][now] = fa[i - 1][fa[i - 1][now]];
forE(i, now, v)
{
if(v == _f) continue;
dep[v] = dep[now] + 1;
fa[0][v] = now;
dfs(v, now);
}
}
In int lca(int x, int y)
{
if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
for(int i = N; i >= 0; --i)
if(dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) x = fa[i][x];
if(x == y) return x;
for(int i = N; i >= 0; --i)
if(fa[i][x] ^ fa[i][y]) x = fa[i][x], y = fa[i][y];
return fa[0][x];
}
int vir[max2];
int st[max2], top = 0;
int pa[max2];
bool cmp(const int& x, const int& y) {return dfsx[x] < dfsx[y];}
In void build(int& m)
{
vir[++m] = 1; top = 0;
sort(vir + 1, vir + m + 1, cmp);
int tp = m;
for(int i = 1; i dep[Lca])
{
if(dep[st[top - 1]] < dep[Lca]) pa[st[top]] = Lca;
--top;
}
if(Lca != st[top])
{
vir[++m] = Lca;
pa[Lca] = st[top];
st[++top] = Lca;
}
pa[st[++top] = now] = Lca;
}
sort(vir + 2, vir + m + 1, cmp);
}
bool vis[max2];
int siz[max2];
In ll DP(int m)
{
ll ret = 0;
for(int i = m; i > 1; --i)
{
int now = vir[i], fa = pa[now];
ret += 1LL * siz[fa] * siz[now] * a[fa];
siz[fa] += siz[now];
}
return ret;
}
In int solve_init()
{
int K = read(), ret = 0;
for(int i = 1; i <= K; ++i)
{
int x = id[n - read()] + 1;
if(!vis[x]) vir[++ret] = x, siz[x] = vis[x] = 1;
}
return ret;
}
int main()
{
// MYFILE();
Mem(head, -1), ecnt = -1;
n = read(), m = read();
scanf("%s", s); reverse(s, s + n);
S.init();
for(int i = 0; i < n; ++i) S.insert(s[i] - 'a', i);
for(int i = 0; i <= S.cnt; ++i) addEdge(S.link[i] + 1, i + 1), a[i + 1] = S.len[i];
dep[1] = 1, dfs(1, 0);
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
int K = solve_init();
build(K);
write(DP(K)), enter;
for(int j = 1; j <= K; ++j) siz[vir[j]] = vis[vir[j]] = 0;
}
return 0;
}标签：fa,int,题解,max2,川大,link,tra,校赛,now 来源： https://blog.51cto.com/u_15234622/2831635