[cf700E]Cool Slogans
作者：互联网
建立SAM，假设$s_{i}$在SAM中的位置为$a_{i}$以及$l_{i}=|s_{i}|$，通过$(a_{i},l_{i})$即可确定$s_{i}$，也即可判定是否合法
更具体的，即要求$\forall 2\le i\le k,|[x-l_{i-1}+l_{i},x]\cap R_{a_{i}}|\ge 2$（其中$x$为$R_{a_{i-1}}$中某个元素，以下默认）
（实际上对于$R_{a_{i-1}}$中每一个元素，上述判定结果都是相同的，具体证明略，因此$x$任取某一个即可）
显然$a_{i}\ne a_{i-1}$，否则取$x$为$R_{a_{i-1}}$（也即$R_{a_{i}}$）中最小值显然不满足
再不妨强制$s_{i}$是$s_{i-1}$的后缀，显然可以通过缩短$s_{i-1}$来满足
由此，即得到了$a_{i}$必然是$a_{i-1}$在parent树上的祖先（严格），$a_{1},a_{2},..,a_{k}$是parent树上从底向上（不包含根）的链上若干个节点（不要求连续），那么不妨确定这些节点，并判断是否合法
也即判定是否存在$l_{i}$满足$l_{i}\in (len_{fa_{a_{i}}},len_{a_{i}}]$且$\forall 2\le i\le k,|[x-l_{i-1}+l_{i},x]\cap R_{a_{i}}|\ge 2$，根据parent树的性质，有$x\in R_{i}$，因此条件又即$[x-l_{i-1}+l_{i},x)\cap R_{a_{i}}\ne \empty$
事实上，$\forall 2\le i\le k,[x-len_{a_{i-1}}+len_{a_{i}},x)\cap R_{a_{i}}\ne \empty$是存在$l_{i}$的充要条件
（下面的证明可能不太容易理解，可以直接跳过看最后的解释）
首先，充分性显然，其即$l_{i}=len_{a_{i}}$时的条件，若其满足取$l_{i}=len_{a_{i}}$即存在
其次，当其在$i=j$时不满足，来证明不论$l_{j-1}$和$l_{j}$取什么，都有$[x-l_{j-1}+l_{j},x)\cap R_{a_{j}}=\empty$
反证法，假设某组$l_{j-1}$和$l_{j}$时其非空，任取$k\in [x-l_{j-1}+l_{j},x)\cap R_{a_{j}}$，根据前面的条件，可以得到$k$的一个范围：$x-len_{a_{j-1}}+l_{j}\le k<x-len_{a_{j-1}}+len_{a_{j}}$
由此，考虑$s[k-len_{a_{j}},x]$，令其right集合为$R'$，由于其长度大于$len_{a_{j-1}}$（根据$k$的不等式）且$x\in R_{a_{j-1}}$，因此$R'\subset R_{a_{j-1}}$
不妨取$y\in \complement_{R_{a_{j-1}}}R'$，由于$y\notin R'$，即有$s[y-(x-k+len_{a_{j}}),y]\ne s[k-len_{a_{j}},x]$
另一方面，由于$x,y\in R_{a_{j-1}}$，因此$s(y-len_{a_{j-1}},y]=s(x-len_{a_{j-1}},x]$
显然可以在第一个不等式中，两边同时去掉一个长度不超过$len_{a_{j-1}}$的后缀，由于这个后缀是相同的，因此前半部分有不同，即仍然不等
去掉的后缀长度为$x-k$，令$y'=y-(x-k)$，即有$s[y'-len_{a_{j}},y']\ne s[k-len_{a_{j}},k]$
类似地，也在第二个等式中去掉这个后缀，即$s(y-len_{a_{j-1}},y']=s(x-len_{a_{j-1}},k]$
进一步的，有$x-len_{a_{j-1}}\le k-l_{j}$，即$s(y'-l_{j},y']=s(k-l_{j},k]$（同时去掉了一个前缀）
根据$k$的定义有$k\in R_{a_{j}}$，又因为$l_{j}\in (len_{fa_{a_{j}}},len_{a_{j}}]$，即$s(k-l_{j},k]$的right集合为$R_{a_{j}}$，因此$k,y'\in R_{a_{j}}$，即与$s[y'-len_{a_{j}}]\ne s[k-len_{a_{j}},k]$矛盾
综上，即得证
通俗的来说，一定是形如ab和bab，原串为babbab，在abbab中前者可以接而后者不能接，那么babbab和abbab的right集合必然相同，与abbab是其right集合（$R_{a_{j-1}}$）中最长串矛盾
上面证明的思路也即是类似，根据abbab最长而abbab和babbab的right集合不同（且前者严格包含后者，即前面$R'\subset R_{a_{j-1}}$），原串应该是babbabcabbab，取abbab出现且babbab没出现（即最后一个位置），根据abbab出现可以推出在开头的位置出现，而babbab没出现可以推出bab在同样的位置没出现，即与ab和bab的right集合相同矛盾
根据这个结论，即可直接根据$a_{i}$来简单的判定，那么在parent树上dp，令$f_{i}$表示以$i$为根的子树中，强制其选择$i$的最多能选的节点数
由于parent树的根节点不能选，答案是$\max_{x为parent树根节点的儿子}f_{x}$
考虑转移，根据前面的判定方式，显然有$f_{i}=\max_{j在i子树中,[x-len_{j}+len_{i},x)\in R_{i}}f_{j}+1$
显然上述条件在$i$变为$i$的父亲一定仍然满足，因此有$f_{i}\ge \max_{x为i的儿子}f_{x}$，不妨先将$f_{i}$赋值为后者，那么所有能转移到$i$某个儿子的$j$就不需要考虑了，仅需要考虑恰能转移到$i$的位置$j$
先用线段树合并预处理出每一个位置上的right集合（在合并时新建节点即可），再倍增对每个$j$查找$i$即可，总复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 400005
4 #define mid (l+r>>1)
5 struct Edge{
6 int nex,to;
7 }edge[N];
8 int V,VV,E,n,lst,nex[N],len[N],R[N],ch[N][26],head[N],fa[N][21],rt[N],f[N*50],ls[N*50],rs[N*50],dp[N];
9 char s[N];
10 void add(int c){
11 int p=lst,np=lst=++V;
12 len[np]=len[p]+1;
13 while ((p)&&(!ch[p][c])){
14 ch[p][c]=np;
15 p=nex[p];
16 }
17 if (!p)nex[np]=1;
18 else{
19 int q=ch[p][c];
20 if (len[q]==len[p]+1)nex[np]=q;
21 else{
22 int nq=++V;
23 nex[nq]=nex[q];
24 nex[q]=nex[np]=nq;
25 len[nq]=len[p]+1;
26 memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[q]));
27 while ((p)&&(ch[p][c]==q)){
28 ch[p][c]=nq;
29 p=nex[p];
30 }
31 }
32 }
33 }
34 void update(int &k,int l,int r,int x){
35 if (!k)k=++VV;
36 f[k]++;
37 if (l==r)return;
38 if (x<=mid)update(ls[k],l,mid,x);
39 else update(rs[k],mid+1,r,x);
40 }
41 int query(int k,int l,int r,int x,int y){
42 if ((!k)||(l>y)||(x>r))return 0;
43 if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k];
44 return query(ls[k],l,mid,x,y)+query(rs[k],mid+1,r,x,y);
45 }
46 int find(int k,int l,int r){
47 if (l==r)return l;
48 if (f[ls[k]])return find(ls[k],l,mid);
49 return find(rs[k],mid+1,r);
50 }
51 int merge(int x,int y){
52 if ((!x)||(!y))return x+y;
53 int k=++VV;
54 ls[k]=merge(ls[x],ls[y]);
55 rs[k]=merge(rs[x],rs[y]);
56 f[k]=f[ls[k]]+f[rs[k]];
57 return k;
58 }
59 void add(int x,int y){
60 edge[E].nex=head[x];
61 edge[E].to=y;
62 head[x]=E++;
63 }
64 void dfs(int k){
65 fa[k][0]=nex[k];
66 if (k==1)fa[k][0]=1;
67 for(int i=1;i<=20;i++)fa[k][i]=fa[fa[k][i-1]][i-1];
68 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex){
69 dfs(edge[i].to);
70 rt[k]=merge(rt[k],rt[edge[i].to]);
71 }
72 R[k]=find(rt[k],1,n);
73 }
74 void calc(int k){
75 int s=1;
76 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex){
77 calc(edge[i].to);
78 s=max(s,dp[edge[i].to]);
79 }
80 if (k==1)dp[k]=s;
81 else dp[k]=max(dp[k],s);
82 int kk=k;
83 for(int i=20;i>=0;i--){
84 int x=fa[kk][i];
85 if (!query(rt[x],1,n,R[k]-len[k]+len[x],R[k]-1))kk=x;
86 }
87 kk=nex[kk];
88 if (kk)dp[kk]=max(dp[kk],dp[k]+1);
89 }
90 int main(){
91 scanf("%d%s",&n,s+1);
92 V=lst=1;
93 for(int i=1;i<=n;i++){
94 add(s[i]-'a');
95 update(rt[lst],1,n,i);
96 }
97 memset(head,-1,sizeof(head));
98 for(int i=2;i<=V;i++)add(nex[i],i);
99 dfs(1);
100 calc(1);
101 printf("%d",dp[1]);
102 }
View Code
标签：ch,int,len,kk,Slogans,le,nex,cf700E,Cool 来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/14804732.html