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BZOJ 2720: [Violet 5]列队春游

作者:互联网

概率和期望+组合数学

这个题有On,n2,n3的做法,这里主要说一下n的线性做法。
我和chy研究了无数题解才明白
根据期望的线性性,枚举每种可能的视野,把期望分解成 每种视野的视野长度×这种视野的概率
就是 $\sum_{i=1}^n i\times P(i) $
然后我们可以给他做一个转化,看这个图

上面的公式相当于每次加一列,我们发现一行也是有序的,所以我们把他转化成累加每一行
就是\(\sum_{i=1}^n P(L>=i)\)
这个式子的含义就是对于每个i,视野长度不小于i的概率之和,然后再求和
我们可以根据每个视野枚举,先预处理出比它小的视野数(就是身高严格小于他的人数)s,然后对于每个视野就有

\[ans= \dfrac{s\times(n-s)!\times A_n^{s-1}}{n!}+1 \]

解释一下,相当于至少有s-1个排在他前面,从n个里面选s-1个,剩下的(除了他自己)乱排,最后把它和他前面的比它小的看成一个整体往里面插,就是乘s,除以全排列就是视野长度不小于i的概率。
这个式子显然可以化简,最后对于每个i的贡献是\(ans(i)=\frac{n+1}{n-s+1}\),过程不说了,根据排列组合公式展开上下消就行。
代码不长,重在理解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int h[305];double d[305];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%d",&h[i]);
	sort(h+1,h+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(h[i]==h[i-1])d[i]=d[i-1];
		else d[i]=i-1;
	}
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 ans+=(n+1)/(n-d[i]+1);
	printf("%.2lf",ans);
	return 0;
}

标签:概率,2720,int,sum,305,times,Violet,视野,BZOJ
来源: https://www.cnblogs.com/PMZG/p/14803128.html