一、题目描述

​ 在美国，硬币按照面值1，5，10，25，50来铸造(单位为美分)。现在考虑按照面值{d₁,…, d_k}(单位为分)来铸造硬币的某个国家.我们想统计有多少种方式能找开n分钱，并记种数为C(n)。例如当所在国家硬币面值集合为{1,6,10}时,C(5)=1,C(6)到C(9)都是2，C(10)=3，C(12)=4。

​ 给出一种高效算法来算出C(n)并分析该算法的时间/空间复杂度。(提示:通过计算C(n,d)来解决问题,C(n,d)是最高面值为d情况下能找开n分钱的方式种数.千万注意不要重复计数.)

​ ———题目来源：《算法设计指南》

示例：

输入：coins = [2,3,5] total = 10
输出：4
解释：2 + 3 + 5是一种
	 2 + 2 + 3 + 3是一种
	 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2是一种
     5 + 5是一种
     总共4种。

二、解题思路

1. 定义状态

​ 设dp[i][j]表示使用前i个面值不同的硬币找出零钱j的方案数。

2. 定义状态转移方程

d p [ i ] [ j ] = ∑ k = 0 n ( d p [ i − 1 ] [ j − k × d i ] ) dp[i][j] = \sum_{k=0}^{n}(dp[i - 1][j - k \times d_i]) dp[i][j]=k=0∑n​(dp[i−1][j−k×di​]) ，其中 n = ⌊ j d i ⌋ n = \lfloor \frac{j}{d_i} \rfloor n=⌊di​j​⌋ 。这里解释一下 d p [ i − 1 ] dp[i-1] dp[i−1]表示使用前 i − 1 i-1 i−1个面值不同的硬币，其中第 i i i个硬币可能使用0个或多个，上限为 ⌊ j d i ⌋ \lfloor \frac{j}{d_i} \rfloor ⌊di​j​⌋ 个，下限为0个。

3. 初始化

​ dp[0][j]表示不使用硬币找出j的方案数，根据实际情况是找不出来的，故初始化为0。

​ dp[i][0]表示使用前i个面值不同硬币找出0美分的方案数量，很显然dp[i][0]初始化为1即可。

三、代码实现

/**
 * 第8章第7题 找零钱问题
 *
 * @author hh
 */
public class Solution {

    /**
     *找零钱的方案数
     *
     * @param coins 硬币面值集合
     * @param total 找的零钱总数
     * @return 方案数
     */
    public int exchange(int[] coins,int total) {
        int[][] dp = new int[coins.length + 1][total + 1];
        //dp[0][i] = 0,i > 0时
        for(int i = 1; i <= total; i++){
            dp[0][i] = 0;
        }
        for(int i = 0; i <= coins.length ; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 1; i <= coins.length ; i++){
            for(int j = 1; j <= total ; j++){
                dp[i][j] = 0;
                for(int k = 0; k <= (j / coins[i -1]) ; k++){
                    dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i - 1]];
                }
            }
        }
        return dp[coins.length ][total];
    }

    public static void main(String[] args){
        Solution solution = new Solution();
        int[] coins = new int[]{2,3,5};
        int total = 10;
        System.out.println(solution.exchange(coins,total));
    }

}

四、执行结果

标签：题目,硬币,int,coins,零钱,经典,面值,total,dp
来源： https://blog.csdn.net/qq_39559641/article/details/117173247