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THUSC2021 Day1口胡题解

作者:互联网

\(\texttt{T1}\)

\(\texttt{题意}\)

有 \(n\) 个有重量的物品和一个大小为 \(m\) 的背包,一轮一轮装物品,要求每轮装尽量多数目的物品,且最大化拿走的物品按编号排序后的编号字典序,如此模拟下去求轮数。

\(n \leq 5\times 10^4,m \leq 10^9\)

\(\texttt{题解}\)

首先我们可以用 \(\Theta(n\log n)\) 的复杂度求出每轮删的物品个数(不是一开始求出,而是每一轮同步进行),可以用堆做,也可以排个序用指针扫。

考虑一个一轮 \(\Theta(n)\) 解决的做法:

我们事先给物品排好序,记当前这一轮需要拿走 \(k\) 个,

可以在求出 \(k\) 的同时求出这一轮拿走 \(1,2,...k\) 个物品的最小花费。

然后在剩下的物品数组中直接 \(\Theta(n)\) 扫过去求出这次删掉的物品集合,并从数组中删掉他们。

这样做复杂度是 \(\Theta(n^2),\) 但并不能通过全部数据。

考虑如果 \(k\) 比较小,可以在线段树上维护拿走的物品集合,可以用类似归并排序的方法实现,一次 \(update\) 复杂度 \(\Theta(k).\)

在维护好信息的情况下考虑每次找到下一个数字拿什么,在线段树上二分就行,虽然一次查询的复杂度是 $k\log n $ 但是总共不超过 \(n\) 次查询因此总复杂度是 \(\Theta (nk\log n)\)

设一个阈值 \(B\) , \(k \geq B\) 时用 \(\Theta(n)\) 的暴力,当 \(k\) 开始 \(\leq B-1\) 的时候建线段树维护即可。

复杂度 \(\Theta(\frac{n^2}{B}+n\log nB)\) , 取 \(B=\sqrt{\frac{n}{\log n}}\) 时时间复杂度为 \(\Theta(n\sqrt{n\log n})\) .

一个 \(\Theta(n\sqrt n)\) 的做法:

对于 \(k<B\) 的部分,分块做,设块长为 \(S\) ,每个块用链表存一下排序结果即可,单次复杂度\(\Theta(B^2+B(S+\frac{n}{S})).\)

总复杂度\(\Theta(nB+n(S+\frac{n}{S})+\frac{n^2}{B}),\)取 \(B=S=\sqrt n\) 总复杂度为 \(\Theta(n\sqrt n)\)

如果空间卡的很紧,可以适当将 \(B\) 缩小,由于 \(\Theta(n)\) 的暴力常数很小所以问题也不大。

哦还有另一个 \(\texttt{polylog}\) 做法,大概是二分套树套树上二分,还要开俩线段树,所以还是分块吧

大概是,每一轮求出个数仍然是随便求,然后二分 \(k\) 次下一个拿的数字的位置,二分里面要写一个,支持 \(n\) 次删除 的 查询后缀 \(k\) 大值的数据结构,这个可以开两个树套树来实现。这东西场上真的有人写? 哦好像有很多,那没事了

\(\texttt{T2}\)

\(\texttt{题意}\)

给你一颗带点权树,要选一个点集使得它是一条链,并且按照链的顺序 , 点权序列是最长上升子序列,最大化最长上升子序列长度。

\(n\leq 10^5\)

\(\texttt{题解}\)

本来看到同学给我发这个题我觉得是个点分治,结果我 naive 了,原来可以直接线段树合并,哈哈

直接线段树合并,记值域上升/下降到当前值时候的 \(LIS\) 长度即可,每个点在树上查询并扔进线段树即可。

答案在线段树合并的同时不难维护。

\(\Theta(n\log n)\) , 当然也可以点分治/dsu on tree/启发式合并,由于没卡 \(2\log\) 甚至没卡3log所以上述做法都能过。

\(\texttt{T3}\)

\(\texttt{题意}\)

有 \(n\) 个人和 \(m\) 种菜 , 第 \(i\) 个人对第 \(j\) 道菜的喜爱程度为 \(a_{i,j}\) , 如果 \(a_{i,j} = -1\) 则表示不喜欢 .

现在你要选择一个菜的集合,你会获得喜欢集合中所有菜的人对这些菜的喜爱程度之和的权值,最大化这个权值.

\(n\leq 20,m \leq 10^6\)

\(\texttt{题解}\)

知道题意的时候降智了,只会一个2nn2的做法,我好菜啊

显然是个 \(fwt\) 题。

考虑求所有的人集合的答案。

对于一道菜 \(x\) ,记它对应的人的集合为 \(S\)

\(A[S] += \sum\limits_{i} a_{i,x}\) , \(A[S-(1<<i)] -= a_{i,x}\)

然后对 \(A\) 做 \(fwt\) 就行了。

\(\Theta(mn+n2^n)\)

\(\texttt{T4}\)

\(\texttt{题意}\)

\(m\) 测,要求实现对一棵有 \(n\) 个节点,儿子有顺序的无标号树的编码和解码,只能用一个 __int128 .

\(n \leq 70,m \leq 10^5\)

\(\texttt{题解}\)

吐槽一下,学弟告诉我题意的时候我以为有标号,结果觉得完全不能做(信息量不够),哈哈

儿子有顺序的话,一棵树对应唯一一个括号序列,且这个括号序列的开头结尾必然是一对匹配的括号,因此将它们去掉,剩下一个长度为 \(2(n-1)\) 的括号序列,由于 \(Cat_{69} < 2^{128},\) 所以对括号序列编码即可。

编码可以用字典序来编码,转移的过程可以事先 \(dp\) 好,存在 static 里.

标签:log,题解,复杂度,texttt,Day1,leq,THUSC2021,Theta,线段
来源: https://www.cnblogs.com/s-r-f/p/14773347.html