动态规划详解

一、名词解释

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果  。（引自百度百科）

动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。

二、举例说明

LeetCode的题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。

解析：

要想跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。

要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。

...

要想跳到第2级台阶，要么是先跳到第1级，然后再跳1级台阶上去;要么是一次迈2级台阶上去。

要想跳到第1级台阶，一次迈1级台阶上去。

依此类推：

f（10） = f（9）+f(8)

f (9)  = f(8) + f(7)

f (8)  = f(7) + f(6)
...

f (2)  = 2

f (1)  = 1

此时可以用递归的方式：

class Solution {
    public int numWays(int n) {
    if(n == 1){
        return 1;
    }
     if(n == 2){
        return 2;
    }
    return numWays(n-1) + numWays(n-2);
    }
}

但是这样会有大量的重复计算，我们可以进行优化一下，把一些重复的进行缓存。空间复杂度是O(n)。

public class Solution {
    //使用map缓存
    Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();
    public int numWays(int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        if (tempMap.containsKey(n)) {
            return tempMap.get(n);
        } else {
            tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)));
            return tempMap.get(n);
        }
    }
}

上面是自上而下的递归结合map起到缓存的作用，用动态规划就是自下而上进行计算。空间复杂度是O(1)。

public class Solution {
    public int numWays(int n) {
        if (n<= 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int a = 1;
        int b = 2;
        int temp = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            temp = a + b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return temp;
    }
}

总结：

1.首先可以用穷举法进行分析

2.找出特殊的跳法（边界值）

3.找出规律，确定最优子结构

4.写出伪代码，进行实现

使用场景：

如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划，

比如一些求最值的场景，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等，都是动态规划的经典应用场景。

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来源： https://blog.csdn.net/qq382495414/article/details/116700632