5.3考试下饭合集###

T3 超级树

因为在T1的tarjan伪算法和T2的伪二分上浪费了太多时间（蒟蒻下饭不需要理由），T3看到后没怎么想，上手就推公式。结果推了二十来分钟，根本推不出来，情况过于复杂了，于是就放弃，打了两个表。就这最后还是忘了提交代码，我真行（鼓掌）

正解用的是计数dp（又是没学过的牛马......）
听起来非常玄学，但仔细一想，我滴妈，还真是这么回事！
嗯反正下次出计数dp肯定还不会......

1.状态：

f[i][j],代表i级超级树有j条不同有向路径的情况总数（注意f维护的是情况总数，总数！）答案即为f[n][1]；

2.转移：

对于一棵i级超级树，它的所有状态一定是由它下面的两棵（i-1）级超级树推过来的。有四种情况：
(1)从左右子树中分别选出j、k条路径：f[i][j+k] += f[i-1][j] * f[i-1][k];(因为f维护的是情况总数，所以左右子树的f值应该相乘)
（2）从左右子树中分别选出j、k条路径，并将当前的父亲节点也算作一条路径（因为题意说明只有一个节点的路径也算路径）：f[i][j+k+1] += f[i-1][j] * f[i-1][k];
(3)从左右子树中分别选出j、k条路径，并在其中挑一条与父亲节点相连： f[i][j+k] += 2 * (j + k) * f[i-1][j] * f[i-1][k];(跳出来的j+k条路径中，每一条都可以作为和父亲节点相连的那条，所以要**（j+k）；本dp中记录的是有向路径的情况，那么（j+k）中任意一条路径既可以从父亲节点连到该路径的初始节点，也可以从该路径的末节点连到父亲节点，所以要2)
（4）从左右子树中分别选出j、k条路径，并从中任选两条都与父亲节点连接起来，构成一条新的路径：f[i][j+k-1] = 2 * C(j+k,2) * f[i-1][j] * f[i-1][k];(C那个玩意儿就是组合数学从j+k中取两个的总情况数；还是因为路径有向，抽出的两条路径都和父亲连起来有两种连接方式，从一条路径的起始节点到另一条路径的末节点，或者从另一条路径的起始节点到这条路径的末节点，所以要*2)；

3.边界：

f[1][0] = f[i][1] = 1,就是1级超级树要么只有一条路径要么没有路径，且这两种都只有一种情况；

4.时间复杂度：

我们观察一下答案和转移方程：我们要求的是f[n][1]，但是转移方程让第二维数字变小的只有情况（4）f[i][j+k-1]，且每次最多只能减少1。也就是说对于在n级超级树的状态而言，只有f[n-1][2]能对f[n][1]造成贡献；而又只有f[n-2][3]能对f[n-2][2]造成贡献。以此递推下去，i级超级树能对n级超级树造成贡献的状态也就是到f[i][n-i+2],所以j+k只要从0到n-i+2枚举就可了
另外，本题需要卡常：我们再转移的时候必须不停地取模，但取模和乘法的常数都不小，所以规规矩矩写会T。具体可优化的，比如说通过观察可以发现，四个转移方程都要用到f[i-1][j]*f[i-1][k]，所以可以预先把这个数算出来；以及枚举的最大值n-i+2，也可以预先算出来

代码：

#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define rl register long long
using namespace std;

const int Maxn = 305;

ll n, mod;
ll f[Maxn][Maxn];

int main(){
	scanf("%lld %lld", &n, &mod);
	f[1][0] = f[1][1] = 1;
	for(rl i = 1; i <= n; i++){
		for(rl fab = 0; fab <= n; fab++) f[i-1][fab] %= mod;
		ll jud = n - i + 2;
		for(rl j = 0; j <= jud; j++){
			for(rl k = 0; j + k <= jud; k++){
				rl jud = f[i-1][j] * f[i-1][k] % mod;
				f[i][j+k] += jud;               // 情况（1） 
				f[i][j+k+1] += jud;             // 情况（2）
				f[i][j+k] += (ll)2 * (j + k) * jud;    //情况（3）
				f[i][j+k-1] += (j + k) * (j + k - 1) % mod * jud;  // 情况（4）
			}
		}
	}
	printf("%lld", f[n][1] % mod);
	return 0;
} ```

标签：5.3,超级,路径,子树中,下饭,一条,long,节点,考试
来源： https://www.cnblogs.com/mtr20050125/p/14732391.html