Infinite Sets
作者：互联网
无穷集合
集合的比较 ： \(=\) ，\(\le\) \(\quad\quad\) 工具：\(function\)
Definition: 集合等势
\(\vert A \vert = \vert B \vert \Leftrightarrow \exists f:A \to B( f \text{ is bijective})\)
note: 等势是一个具有等价性质的概念。
Definition ：无穷和有穷
\(X\text{ is finite}\Leftarrow \exists n \in \mathbb{N}.\vert X \vert = \vert n \vert = \vert \{0,1,2,....,n-1\}\vert\)
\(X\text{ is infinite}\Leftarrow \forall n \in \mathbb{N}.\vert X \vert != \vert n \vert\)
\(Theorem(\text{Existence of infinite sets})\)
\(\mathbb{N}\text{ is infinite}(\text{easily proved by contradiction.})\)
\(\vert \mathbb{N}\vert = \aleph_0\)
Definition：可数无穷
\(X \text{ is countably infinite} \Leftrightarrow \vert X \vert = \aleph_0\)
Definition:可数
\(X \text{ is countable} \Leftrightarrow X \text{ is finite or countably infinite.}\)
\(Theorem:\vert \mathbb{R}\vert != \aleph_0(\text{无穷也是不一样大的})\)
Proved by diagonal argument.
Definition: \(\le\)
\(\vert A \vert \le \vert B \vert \Leftarrow \exists f:A \to B(f \text{ is injective.})\)
Theorem:可数的另一种证明方式
\(X \text{ is countable.} \Leftrightarrow \vert X \vert \le \aleph_0\)
一些证明技巧和用到的定理
证明集合等势
用到的定理：Cantor-Schroder-Bernstein 定理:如果存在\(f:A \to B \text{ and }g:B \to A\),且它们都是单射，那么一定存在 \(h:A \to B\) 是双射。
2种方法：
- 在两个集合之间构造或者找到一个双射。
- 利用 Cantor-Schroder-Bernstein 定理，在两个集合之间构造或者找到两个单射(两个方向的).
- 证明过程中也可以利用集合等势的等价性对目标做一些转移。
证明集合不等势
用到的定理: Cantor 定理：\(\vert A \vert \lt \vert \mathcal{P}(A) \vert\)
- 证明不等号一边的集合的幂集和另一边的集合等势，这样就证明了两个集合不等势。
- 或者转移到其他常见的集合。
常见的集合的势
\(\vert \mathbb{R} \vert = \vert \mathbb{R}^n \vert = \vert [0,1] \vert = 2^{\aleph_0}\)
\(\vert \mathbb{N}\vert = \vert \mathbb{Z} \vert = \vert \mathbb{Q} \vert = \aleph_0\)
标签：mathbb,vert,等势,text,集合,aleph,Sets,Infinite 来源： https://www.cnblogs.com/Softwarer1412/p/14730191.html