Codeforces1117 D. Magic Gems（dp，矩阵快速幂优化）

题意：

解法：

d [ i ] 表 示 组 成 i 个 宝 石 的 方 案 数 . 显 然 转 移 方 程 为 d [ i ] = d [ i − 1 ] + d [ i − m ] . 发 现 转 移 的 时 候 只 有 d [ i − m ] 到 d [ i − 1 ] 这 一 段 需 要 保 存 , 长 度 为 m . 由 于 转 移 系 数 不 变 , 且 m < = 100 , 因 此 可 以 用 矩 阵 优 化 . 一 次 矩 阵 乘 法 可 以 从 d [ i − m , i − 1 ] 转 移 到 d [ i − m + 1 , i ] . 用 矩 阵 快 速 幂 加 速 递 推 ， 算 法 复 杂 度 为 O ( m 3 ∗ l o g ) . d[i]表示组成i个宝石的方案数.\\ 显然转移方程为d[i]=d[i-1]+d[i-m].\\ 发现转移的时候只有d[i-m]到d[i-1]这一段需要保存,长度为m.\\ 由于转移系数不变,且m<=100,因此可以用矩阵优化.\\ 一次矩阵乘法可以从d[i-m,i-1]转移到d[i-m+1,i].\\ 用矩阵快速幂加速递推，算法复杂度为O(m^3*log). d[i]表示组成i个宝石的方案数.显然转移方程为d[i]=d[i−1]+d[i−m].发现转移的时候只有d[i−m]到d[i−1]这一段需要保存,长度为m.由于转移系数不变,且m<=100,因此可以用矩阵优化.一次矩阵乘法可以从d[i−m,i−1]转移到d[i−m+1,i].用矩阵快速幂加速递推，算法复杂度为O(m3∗log).

code：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxm=105;
struct Mat{
    int a[maxm][maxm];
    void init(){//空矩阵
        memset(a,0,sizeof a);
    }
    void init_e(){//单位矩阵
        memset(a,0,sizeof a);
        for(int i=0;i<maxm;i++){
            a[i][i]=1;
        }
    }
    Mat operator*(const Mat& b){
        Mat ans;ans.init();
        for(int k=0;k<maxm;k++){
            for(int i=0;i<maxm;i++){
                if(!a[i][k])continue;
                for(int j=0;j<maxm;j++){
                    if(!b.a[k][j])continue;
                    ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};
int d[maxm];
int n,m;
Mat ppow(Mat a,int b){
    Mat ans;ans.init_e();
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void solve(){
    cin>>n>>m;
    if(n<m){
        cout<<1<<endl;
        return ;
    }
    //初始矩阵d[1,m]
    Mat pre;pre.init();
    d[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        d[i]=d[i-1];
        if(i-m>=0)d[i]=(d[i]+d[i-m])%mod;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        pre.a[1][i]=d[i];
    }
    //转移矩阵
    Mat base;base.init();
    for(int j=1;j<=m-1;j++){
        base.a[j+1][j]=1;
    }
    base.a[m][m]=1;
    base.a[1][m]=1;
    base=ppow(base,n-m);
    pre=pre*base;
    int ans=pre.a[1][m];
    cout<<ans<<endl;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    solve();
    return 0;
}

标签：Gems,pre,Magic,Mat,int,Codeforces1117,init,base,ans
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44178736/article/details/116230981