ZJNU 1265 - 幸运的硬币——高级 （矩阵快速幂）

ZJNU 1265 - 幸运的硬币——高级

题面

众所周知，一个硬币有两面，一面朝上，一面朝下。如果两个硬币同时朝上，或者同时朝下，我们说两个硬币的状态是相同的。如果现在有\(n\)个硬币排成一排，显然有\(2^n\)种不同的排法。如果存在超过两个连续硬币的状态相同，我们就说这个硬币序列是幸运的。那么这种幸运的硬币序列有多少种呢？（\(1\le n\le 10^9\)）

思路

总方案数为\(2^n-\)不合法情况数

不合法情况即至多只有两个连续相同的硬币

先考虑此时相邻硬币状态互不相同，即\(0101\)交替或\(1010\)交替，有两种情况

然后从互不相同这种状态延伸至至多只有两个连续相同数的状态

可以看作选中这个\(01\)序列中的某一些数字，将其连写两遍，每选中一个数字则序列总长度会加\(1\)

例如对于长度为\(4\)的序列\(0101\)，选中位置\(1\)与位置\(4\)，则会变为\(001011\)，序列长度变为\(6\)，且此时至多只有两个连续相同数

那么明显的，对于所有初始长度为\(\lceil \frac n 2 \rceil \le length \le n\)的\(01\)序列或者\(10\)序列，均可以通过一定的变换使其变成长度为\(n\)的至多只有两个连续相同数字的序列

对于位置选取，可通过组合数选取

则总方案数为

\[2^n-2\times\sum_{i=\lceil\frac n 2\rceil}^{n}\C_i^{n-i} \]

注意到题目中\(\max n=10^9\)，直接求取组合数方案不可行

但通过打表或者杨辉三角逆推的方法可以发现，\(\sum_{i=\lceil\frac n 2\rceil}^{n}\C_i^{n-i}=Fibonacci[n+1]\)

故可以借助矩阵快速幂来求出斐波那契数列的值

//#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
//#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include<bits/stdc++.h>
#define closeSync ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define multiCase int T;cin>>T;for(int t=1;t<=T;t++)
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define perr(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);i--)
#define all(a) (a).begin(),(a).end()
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define eb emplace_back
using namespace std;
//using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> P;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const ll LINF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-12;
const double PI=acos(-1.0);
const ll mod=10007;
mt19937 mt19937random(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
ll getRandom(ll l,ll r){return uniform_int_distribution<ll>(l,r)(mt19937random);}
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll qmul(ll a,ll b){ll r=0;while(b){if(b&1)r=(r+a)%mod;b>>=1;a=(a+a)%mod;}return r;}
ll qpow(ll a,ll n){ll r=1;while(n){if(n&1)r=(r*a)%mod;n>>=1;a=(a*a)%mod;}return r;}
ll qpow(ll a,ll n,ll p){ll r=1;while(n){if(n&1)r=(r*a)%p;n>>=1;a=(a*a)%p;}return r;}

struct Fibonacci{
    struct matrix{
        ll n,m,i;
        ll data[2][2];
        void init(){
            for(i=0;i<n;i++)
                data[i][i]=1;
        }
    }a,A,ans;
    matrix multi(matrix &a,matrix &b){
        ll i,j,k;
        matrix temp;
        temp.n=a.n;
        temp.m=b.m;
        for(i=0;i<temp.n;i++){
            for(j=0;j<temp.m;j++)
                temp.data[i][j]=0;
        }
        for(i=0;i<a.n;i++){
            for(k=0;k<a.m;k++){
                if(a.data[i][k]>0){
                    for(j=0;j<b.m;j++)
                        temp.data[i][j]=(temp.data[i][j]+(a.data[i][k]*b.data[k][j])%mod)%mod;
                }
            }
        }
        return temp;
    }
    matrix fast_mod(matrix &a,ll n){
        matrix ans;
        ans.n=a.n;
        ans.m=a.m;
        memset(ans.data,0,sizeof(ans.data));
        ans.init();
        while(n>0){
            if(n&1) ans=multi(ans,a);
            a=multi(a,a);
            n>>=1;
        }
        return ans;
    }
    ll fibo(ll n){
        a.n=1;
        a.m=2;
        a.data[0][0]=1;
        a.data[0][1]=1;
        A.n=2;
        A.m=2;
        A.data[0][0]=0;
        A.data[0][1]=1;
        A.data[1][0]=1;
        A.data[1][1]=1;
        ans=fast_mod(A,n-1);
        ans=multi(a,ans);
        return ans.data[0][0];
    }
}f;


void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<(qpow(2,n)-2LL*f.fibo(n+1)%mod+mod)%mod<<'\n';
}
int main()
{
    closeSync;
    //multiCase
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

标签：return,硬币,ll,ans,矩阵,1265,ZJNU,data,define
来源： https://www.cnblogs.com/stelayuri/p/14710154.html