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(lintcode)第336题斐波那契数列

作者:互联网

要求:查找斐波纳契数列中第 N 个数

所谓的斐波纳契数列是指:前2个数是 0 和 1 ,第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和,斐波纳契数列的前10个数字是:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …
样例
给定 1,返回 0
给定 2,返回 1
给定 10,返回 34
第一次想到的方法是使用递归,但是递归的效率比较低,时间超限,报错(代码运行时间超过了限制,检查你的时间复杂度。TLE通常是由死循环造成的,思考一下你的时间复杂度是否是最优的。)在这里也放上递归的代码(时间复杂度O(2^n)):

public class Solution {
    /*
     * @param n: an integer
     * @return: an ineger f(n)
     */
    public int fibonacci(int n) {
        if(n==1){
            return 0;
        }else if(n==2){
            return 1;
        }else{
             return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
        }
    }
}

第二种方法就是把递归转化成为for循环来写,这样的话可以一定程度减少时间的复杂度,递归和for循环可以看成是两个互逆的过程。(时间复杂度O(n))总耗时: 2655 ms

public class Solution {
    /*
     * @param n: an integer
     * @return: an ineger f(n)
     */
    public int fibonacci(int n) {
        if(n==1)//第一个直接返回
            return 0;
        else if(n==2)//第二个直接返回
            return 1;
        else if(n>=3){//大于等于3,
            int first=0,second=1;
            while(n>=3){
                n--;
                int temp=second;//将第二个数的值保存
                second=first+second;将第一个数和第二个数的和的值赋予second变量
                first=temp;//将之前的第二个数的值赋予first变量
            }
            return second;
        }
        else 
            return 0;
    }
}

当然,也可以使用数组来挨个存储每一个值。(时间复杂度O(n))

class Solution {
    public int fibonacci(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 0;
        }
        int[] fib = new int[n];
        fib[0] = 0;
        fib[1] = 1;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
        }
        return fib[n - 1];
    }
}

还有一种解法,是使用矩阵来求解,时间复杂度O(logn),斐波那契的递推公式可以表示成如下矩阵形式,KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{Bmatrix…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…

矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列。矩阵长类似下面这样子,这是一个二阶矩阵,两行两列组成,里面的a,b,c,d就是它的元素:                                 {                                                                     a                                                                             b                                                                                             c                                                                             d                                                                 }                             \begin{Bmatrix} a & b\\ c & d \end{Bmatrix}                 {acbd}
像下面这样的就是列向量,只有一列:                                 {                                                                                  x                                      1                                                                                                                      x                                      2                                                                             }                            \begin{Bmatrix} x_1\\ x_2 \end{Bmatrix}                 {x1x2}设KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲A=\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲X=\begin{Bmatri…则
KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲Y=AX= \begin{Bm…表示为二阶矩阵A与平面向量X的乘积。斐波那契(Fibonacci)数列,从第三项开始,每一项都是前两项之和。 F(n)=F(n − 1)+F(n − 2), n⩾3,把斐波那契数列中 相邻的两项F(n)和F(n − 1)写成一个2×1的矩阵。 F0=0 ,F1=1.KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{Bmatrix…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…那么求F(n)就等于求二阶矩阵KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{Bmatrix…的n-1次方,结果是取矩阵第一行的第一列的元素,那么这个问题就转换成了二阶矩阵的n次幂,那么我们现在要求矩阵A的N次幂,首先二阶的矩阵乘法都满足结合律,如过A,B,C是任意的二阶矩阵,那么有A(BC)=(AB)C,                                          A                          6                                 =                                  A                          3                                 ∗                                  A                          3                                 /                         /                         用                         了                         三                         次                         乘                         法                         ,                         两                         次                         乘                         法                         计                         算                         出                                  A                          3                                 ,                         最                         后                         一                         次                         乘                         法                         两                         个                                  A                          3                                 相                         乘                            A^{6}=A^{3}*A^{3}//用了三次乘法,两次乘法计算出A^{3},最后一次乘法两个A^{3}相乘                 A6=A3∗A3//用了三次乘法,两次乘法计算出A3,最后一次乘法两个A3相乘                                          A                          6                                 =                         A                         ∗                         A                         ∗                         A                         ∗                         A                         ∗                         A                         ∗                         A                         /                         /                         五                         次                         乘                         法                         ,                         直                         接                         六                         个                         A                         相                         乘                            A^{6}=A*A*A*A*A*A//五次乘法,直接六个A相乘                 A6=A∗A∗A∗A∗A∗A//五次乘法,直接六个A相乘还有一种方法,是转化成为2进制,比如6转化成为2进制就是110,                                     A                         6                            =                             A                         4                            ∗                             A                         2                                 A^{6}=A^{4}*A^{2}              A6=A4∗A2
(10进制)31 = (二进制) 11111 ,则                                     A                         31                            =                             A                         16                            ∗                             A                         8                            ∗                             A                         4                            ∗                             A                         2                            ∗                             A                         1                                 A^{31}=A^{16}*A^{8}*A^{4}*A^{2}*A^{1}              A31=A16∗A8∗A4∗A2∗A1
                                         A                          N                                 =                                  A                          n                                 ∗                                  A                          n                                 当                         n                         为                         偶                         数                            A^{N}=A^{n}*A^{n}当n为偶数                 AN=An∗An当n为偶数                                          A                          N                                 =                                  A                          n                                 ∗                                  A                          n                                 ∗                         A                         当                         n                         为                         奇                         数                            A^{N}=A^{n}*A^{n}*A当n为奇数                 AN=An∗An∗A当n为奇数
代码如下:

public class Solution {
    /*
     * @param n: an integer
     * @return: an ineger f(n)
     */
     long[][]f=new long[][]{{1,1},{1,0}};//最初的数组
     public int fibonacci(int n) {
        if(n==1)//为1时直接返回
            return 0;
        else if(n==2||n==3)//为2,3的时候也直接返回
            return 1;
        else if(n>3){//大于3的时候,记得n-2
            f=power(n-2,f);
            return (int)f[0][0];//返回第一行的第一列的数
        }
        else 
            return 0;
    }
    public long[][] power(int n,long[][]f){
        if(n==1)
            return f;
        if(n==2)
            return fun(f,f);
        if(n%2==0){
            f=power(n/2,f);
            return fun(f,f);
        }else{
            return fun(power(n/2,f),power(n/2+1,f));
        }
    }
    public long[][] fun(long[][] f,long [][] m){//两个二阶矩阵相乘
        long[][] temp = new long[2][2]; 
        temp[0][0]=(f[0][0]*m[0][0]+f[0][1]*m[1][0]);
        temp[0][1]=(f[0][0]*m[0][1]+f[0][1]*m[1][1]);
        temp[1][0]=(f[1][0]*m[0][0]+f[1][1]*m[1][0]);
        temp[1][1]=(f[1][0]*m[0][1]+f[1][1]*m[1][1]);
        return temp;
    }
}

还有一种直接求值得公式法,但是有不够准确的风险。
这里写图片描述
代码如下:

复制代码
//直接求值法(利用公式F(n) = [@n/sqrt(5)]快速计算第n个斐波那契数)
    public static double fibonacci(int n){
        double result = 0;
        double temp = Math.sqrt(5.0);
        result =  (1/temp)*(Math.pow((1+temp)/2,n)-Math.pow((1-temp)/2, n));
        return result;
    }

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技术之路不在一时,山高水长,纵使缓慢,驰而不息。

公众号:秦怀杂货店

标签:begin,return,temp,No,int,题斐波,336,environment,那契
来源: https://blog.51cto.com/u_13604316/2729963