猫的运输 / Cats Transport

题目链接：ybt金牌导航1-5-4 / luogu CF311B / LOJ 10187

题目大意

有一些猫，它们各在一条链的某条位置上，会在某个时刻出现，之后就会等待。
然后有一些人在链的最左边，以一个单位长度每单位时间往右走，然后他会带走他所在位置出现的所有猫。每个人的开始时间任意，可以是负数都行。
然后问你所有猫最小的等待时间。

思路

首先我们看到这个小猫它很烦，又有位置又有出现时间。
然后我们看到饲养员都在最左边，且开始行走时间任意，那我们考虑它每个小猫的要记录的值即为饲养员要在什么时刻或之后出发才能接到它。
容易得出，设此值为 a i a_i ai​，则有 a i = t i − d i a_i=t_i-d_i ai​=ti​−di​。
（ t i t_i ti​ 为它出现时间， d i d_i di​ 为它到最左边的距离，这个可以通过前缀和预处理出）

那我们会发现，如果我们把猫按 a i a_i ai​ 从小到大排，每个饲养员能拿到的猫就是从某个开始往后的全部。
那越靠后的猫如果让他来收就等的时间越长，那就要在后面继续放饲养员。
那每个饲养员拿猫的范围就是它到下一个饲养员的前面一直猫。
然后你就会觉得它可以 DP，于是我们来搞搞看：

设 f i , j f_{i,j} fi,j​ 为 i i i 个饲养员处理前 j j j 值小猫的最小时间。
然后可以列出转移方程：
f i , j = min ⁡ k = 0 j − 1 { f i − 1 , k + a j ∗ ( j − k ) − ( S j − S k ) } f_{i,j}=\min_{k=0}^{j-1}\{f_{i-1,k}+a_j*(j-k)-(S_j-S_k)\} fi,j​=mink=0j−1​{fi−1,k​+aj​∗(j−k)−(Sj​−Sk​)}
（ S i S_i Si​ 是 a i a_i ai​ 数组的前缀和）

然后你会发现这样枚举会超时，那我们考虑优化，先拆括号看看：
f i , j = min ⁡ k = 0 j − 1 { f i − 1 , k + a j ∗ j − a j ∗ k − S j + S k } f_{i,j}=\min_{k=0}^{j-1}\{f_{i-1,k}+a_j*j-a_j*k-S_j+S_k\} fi,j​=mink=0j−1​{fi−1,k​+aj​∗j−aj​∗k−Sj​+Sk​}
看到这个 min ⁡ \min min 和 a j ∗ k a_j*k aj​∗k，我们可以先到斜率优化，那就试试咯。

那枚举好 i , j i,j i,j，当 x x x 比 y y y 优。（ a > b a>b a>b）
f i − 1 , x + a j ∗ j − a j ∗ x − S j + S x < f i − 1 , y + a j ∗ j − a j ∗ y − S j + S y f_{i-1,x}+a_j*j-a_j*x-S_j+S_x < f_{i-1,y}+a_j*j-a_j*y-S_j+S_y fi−1,x​+aj​∗j−aj​∗x−Sj​+Sx​<fi−1,y​+aj​∗j−aj​∗y−Sj​+Sy​
f i − 1 , x − f i − 1 , y + S x − S y < a j ∗ x − a j ∗ y f_{i-1,x}-f_{i-1,y}+S_x-S_y < a_j*x-a_j*y fi−1,x​−fi−1,y​+Sx​−Sy​<aj​∗x−aj​∗y
( f i − 1 , x + S x ) − ( f i − 1 , y + S y ) x − y < a j \dfrac{(f_{i-1,x}+S_x)-(f_{i-1,y}+S_y)}{x-y}<a_j x−y(fi−1,x​+Sx​)−(fi−1,y​+Sy​)​<aj​

然后你就可以开搞了。
由于你前面把 a j a_j aj​ 数组从小到大排序了，那你就直接用单调队列搞就可以了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long 

using namespace std;

ll n, m, p, d[100001];
ll h, t, a[100001], s[100001];
ll l[100001], r[100001], q[101][100001], f[201][100001];

bool cmp(ll x, ll y) {
	return x < y;
}

double xl(int i, int j1, int j2) {//计算斜率
	return (1.0 * f[i][j1] - f[i][j2] + s[j1] - s[j2]) / (j1 - j2);
}

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);
	for (ll i = 1; i < n; i++) scanf("%lld", &d[i]), d[i] += d[i - 1];
	
	for (ll i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%lld %lld", &h, &t);
		a[i] = t - d[h - 1];
	}
	
	sort(a + 1, a + m + 1, cmp);//按出发时间排序
	for (ll i = 1; i <= m; i++)
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	
	for (ll j = 1; j <= m; j++) {
		for (ll i = 1; i <= min(j, p); i++) {//饲养员的个数一定要套在里面
			while (l[i - 1] < r[i - 1] && xl(i - 1, q[i - 1][l[i - 1]], q[i - 1][l[i - 1] + 1]) <= a[j]) l[i - 1]++;
			f[i][j] = f[i - 1][q[i - 1][l[i - 1]]] + a[j] * j - a[j] * q[i - 1][l[i - 1]] - s[j] + s[q[i - 1][l[i - 1]]];
			while (l[i] < r[i] && xl(i, q[i][r[i]], j) < xl(i, q[i][r[i] - 1], q[i][r[i]])) r[i]--;
			q[i][++r[i]] = j;//从饲养员个数是i-1转移到个数是i
		}
	}
	
	printf("%lld", f[p][m]);
	
	return 0;
}

标签：10187,min,LOJ,luogu,ll,aj,100001,饲养员,lld
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43346722/article/details/116099043