康托の复习笔记

概念

摘自百度百科。

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

康托展开

逐位计算，考虑一个排列 \(1\sim i-1\) 位已经确定的贡献。如果 \(i\) 位置填了比 \(a_i\) 小的数，\(i+1\sim n\) 无论怎么填都是小的。所以可以得出计算公式：

\[\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=i+1}^n a_j<a_i\right)\times(n-i)!+1 \]

中间那个东西可以用树状数组维护。

逆康托展开

观察到 \(\left(\sum_{j=i+1}^n a_j<a_i\right)<n-i\)，这也恰恰说明逆展开是唯一的。

对于每一位都可以计算出后面小于当前位的数量，因为一些数在之前已经用过了，所以要在树状数组上二分。

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