Codeforces Problem - 101C - Vectors

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/101/C

At a geometry lesson Gerald was given a task: to get vector B out of vector A. Besides, the teacher permitted him to perform the following operations with vector А:

Turn the vector by 90 degrees clockwise.
Add to the vector a certain vector C.
Operations could be performed in any order any number of times.

Can Gerald cope with the task?

Input
The first line contains integers x1 и y1 — the coordinates of the vector A ( - 108 ≤ x1, y1 ≤ 108). The second and the third line contain in the similar manner vectors B and C (their coordinates are integers; their absolute value does not exceed 108).

Output
Print “YES” (without the quotes) if it is possible to get vector B using the given operations. Otherwise print “NO” (without the quotes).

0 0
1 1
0 1
YES

0 0
1 1
1 1
YES

0 0
1 1
2 2
NO

题意：输入三个向量A,B,C。给你两个操作,1.把A向量旋转90度,2.把C向量加到A向量上,这两个操作可以执行任意多次,顺序也是任意的,问能否得到B向量;
思路；对于这种类型的题目，数据给的特别大，有1e8的数据范围，最后答案是让你判断YES和NO的情况，大多时候是需要通过一些规律或者是公式推导，最后得出一个准确的式子进行判断。
对于这道题，A向量可以在任意时间旋转90度，但如果我们对A向量进行旋转后，再把C向量连接到A向量上。这种操作需要在连接C向量后再进行旋转，对于每一次A向量旋转
都需要操作。这时我们可以将A向量的旋转转化为C向量的旋转，即对A向量连接不同个数的4种不同方向的C向量。
我们可以假设4种C向量为：C1:(x,y) C2:(-x,-y) C3:(y,-x) C4:(-y,x)
A向量为: A:(x1,y1)
B向量为: B:(x2,y2)
根据题意可以得到如下公式：
A + a * C1 + b * C2 + c * C3 + d * C4 = B
对于向量相加的知识：两个向量相加就等于向量对应分量的加和。
由此我们可以得到一个方程组：
x1 + x*(a-b) + y*(c-d) = x2
y1 + y*(a-b) - x*(c-d) = y2
令 t1=(a-b) , t2=(c-d)
得出两个方程
x1 + x * t1+ y * t2 = x2 （1)式子
y1 + y * t1 - x * t2 = y2 （2)式子
此时问题就求解二元一次方程组，判断方程组是否有整数解
需要注意：如果此时x和y都为0，只需要判断A向量能否通过四种方式的旋转得到B向量。
消元求解t1和t2的代数式：
(1)式* x+(2)式* y = x*(x1-x2) + y*(y1-y2) + t1*(xx+yy) = 0
=>t1=(x*(x1-x2) + y*(y1-y2)) / (x * x+y * y)
得出t1后判断y是否等于0，如果y=0，则代入(2)式子，t2=-((x1-x2)+x * t1) / y
否则代入(1)式子，t2=((y1-y2)+y * t1) / x
最后求出t2以后，代入原式是否相等即可。(因为要求的是整数解，所以在在一系列运算中，如果不为整数解，最后是不能出现代入原式子相等的，比如，x=4/3(下取整)=1,但x*3却不等于4)
最后上代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
const ll mod=1e9+7;
ll m,n,i,j;
ll xx1,xx2,yy1,yy2;
ll x,y;
ll xx[10],yy[10];
ll df[10][5][5]={{{1,0},{0,1}},{{-1,0},{0,-1}},{{0,1},{-1,0}},{{0,-1},{1,0}}};
ll check(ll x2,ll y2){
    ll dx=xx1-x2;
	ll dy=yy1-y2;
    ll sum=x*dx+y*dy;
    ll t1=-sum/(x*x+y*y);
    if(y!=0)
	{
        ll t2=-(dx+x*t1)/y;
        if(xx1+x*t1+y*t2==x2&&yy1+y*t1-x*t2==y2) 
			return 1;
    }else
	{
        ll t2=(dy+y*t1)/x;
        if(xx1+x*t1+y*t2==x2&&yy1+y*t1-x*t2==y2) 
			return 1;
    }
    return 0;
}
int main()
{
	ll flag=0;
	cin>>xx1>>yy1>>xx2>>yy2>>x>>y;
	for(ll i=0;i<4;i++)
	{
		xx[i]=df[i][0][0]*xx2+df[i][0][1]*yy2;
        yy[i]=df[i][1][0]*xx2+df[i][1][1]*yy2;
	}
	if(x==0&&y==0)
	{
		for(ll i=0;i<4;i++)
			if(xx1==xx[i]&&yy1==yy[i])
				flag=1;
	}
	else
	{
		for(ll i=0;i<4;i++)
			if(check(xx[i],yy[i])==1)
				flag=1;
	}
	if(flag==1)
		cout<<"YES";
	else
		cout<<"NO";
	return 0;
}

标签：ll,Vectors,t2,Codeforces,t1,x2,Problem,y2,向量
来源： https://blog.csdn.net/qq_45634757/article/details/115529549