第二类斯特林数

第二类斯特林数 \(S(n,k)\) 表示将 \(n\) 个不同的物品划分成 \(k\) 个无序集合的方案数。




讨论当前元素的放置即可得到递推式：

\[S(n,k) = S(n-1,k)*k + S(n-1,k-1) \]

通过容斥可以得到通项公式：

\[S(n,k) = \frac {\sum_{i=0}^k (-1)^i*\binom{k}{i}*(k-i)^n}{k!} \]

这里先将集合视为有序的，再除以排列数得到方案数。

可以通过第二类斯特林数展开 \(i^k\)：

\[i^k = \sum_{j=0}^i S(k,j)*\binom{i}{j}*j! \]

考虑组合意义即可证明。

标签：第二类,斯特林,sum,得到,集合,binom
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