关于 FWT 的一些理解

规定 \(\otimes\) 为任一位运算，给定数组 \(a_n,b_n\) ，求数组 \(\displaystyle c_n=\sum_{i\otimes j=n}a_ib_j\)

我们假设将数组 \(a_n,b_n,c_n\) 分别看成一个向量，并对该三个向量进行线性变换。

\(c_n\) 的线性变换可逆

设线性变换分别为 \(T_A,T_B,T_C\) ，且线性变换后，新数组 \(a'_n,b'_n,c'_n\) 满足 \(c'_n=a'_n\cdot b'_n\)

则 \(\displaystyle \sum_i T_{C(n,i)}c_i=c'_n=a'_n\cdot b'_n=\sum_p T_{A(n,p)}a_p\sum_q T_{B(n,q)}b_q\)

代入 \(\displaystyle c_n=\sum_{i\otimes j=n}a_ib_j\) 得

\(\displaystyle \sum_i T_{C(n,i)}\sum_{p\otimes q}a_pb_q=\sum_p \sum_q T_{B(n,q)} T_{A(n,p)}a_pb_q\)

\(\displaystyle \sum_p\sum_q T_{C(n,p\otimes q)}a_pb_q=\sum_p \sum_q T_{B(n,q)} T_{A(n,p)}a_pb_q\)

约除相同项，我们得到 \(\displaystyle T_{C(n,p\otimes q)}=T_{B(n,q)} T_{A(n,p)}\)

由于位运算的可按位拆解性，我们得到，对于每一位 \(b\) ，都有 \(\displaystyle T_C(n_b,p_b\otimes_b q_b)=T_B(n_b,q_b) T_A(n_b,p_b)\)

标签：线性变换,sum,pb,理解,关于,数组,FWT,otimes,displaystyle
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