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李宏毅机器学习之Classification

2021-03-15 13:30:15 作者：互联网

一、例子

1.1 分类概念

分类要找一个function函数输入对象x特征，输出是该对象属于n个类别中是属于哪一个。
例子
- 信用评分（二分类问题）
- 医疗诊断（多分类问题）
- 手写文字识别（多分类问题）

1.2 神奇宝贝的属性（水、电、草）预测

神奇宝贝有很多的属性，比如电，火，水。要做的就是一个分类的问题：需要找到一个 functionfunction。
- 输入：一只神奇宝贝的特征（整体强度，生命值，攻击力，防御力，特殊攻击力，特殊防御力，速度等）
- 输出：属于哪一种类型的神奇宝贝
首先需要将神奇宝贝数值化：以皮卡丘为例
- Total：整体强度，大概的表述神奇宝贝有多强，比如皮卡丘是320
- HP：生命值，比如皮卡丘35
- Attack：攻击力，比如皮卡丘55
- Defense：防御力，比如皮卡丘40
- SP Atk：特殊攻击力，比如皮卡丘50
- SP Def：特殊防御力，比如皮卡丘50
- Speed：速度，比如皮卡丘90
所以一只《神奇宝贝》可以用一个向量来表示，上述7个数字组成的向量。

二、回归模型VS概率模型

我们收集当前神奇宝贝的特征数据和属性数据，例如：皮卡丘 $(x^1,\hat{y}^1)$ 电属性，杰尼龟 $(x^2,\hat{y}^2)$ 水属性, ...

2.1 回归模型

假设还不了解怎么做，但之前已经学过了 regressionregression。就把分类当作回归硬解。举一个二分类的例子，假设输入神奇宝贝的特征 xx，判断属于类别1或者类别2，把这个当作回归问题。
- 类别1：相当于target是1。
- 类别2：相当于target是−1。
然后训练模型：因为是个数值，如果数值比较接近1，就当作类别1，如果数值接近-1，就当作类别2，可以得到如下结果：
- 左图：绿色是分界线，红叉就是Class2的类别，蓝圈就是Class1的类别
- 右图：紫色是分界线，红色叉叉就是 Class2 的类别，蓝色圈圈就是 Class1 的类别。训练集添加有很多的距离远大于1的数据后，分界线从绿色偏移到紫色
存在的问题
- 这样用回归的方式硬训练可能会得到紫线，直观上就是将绿色的线偏移一点到紫色的时候，就能让右下角的那部分的值不是那么大了。但实际是绿色的才是比较好的，用回归硬训练并不会得到好结果。此时可以得出用回归的方式定义，对于分类问题来说是不适用的。
- 还有另外一个问题：比如多分类，类别1当作target1，类别2当作target2，类别3当作target3…如果这样做的话，就会认为类别2和类别3是比较接近的，认为它们是有某种关系的；认为类别1和类别2也是有某种关系的，比较接近的。但是实际上这种关系不存在，它们之间并不存在某种特殊的关系。这样是没有办法得到好的结果。

2.2 其他模型（理想代替品）

先看二分类，将 function中内嵌一个函数 g(x)，如果大于0，就认识是类别1，否则认为是类别2。损失函数的定义就是，如果选中某个funciton f(x)，在训练集上预测错误的次数。当然希望错误次数越小越好。但是这样的损失函数没办法解，这种定义没办法微分。这是有方法的，比如Perceptron（感知机），SVM等。下面介绍了一种概率模型。

三、概率模型实现原理

3.1 盒子抽球概率举例

说明：假设两个盒子，各装了5个球，还得知随机抽一个球，抽到的是盒子1的球的概率是 2/3，是盒子2的球的概率是1/3。从盒子中蓝色球和绿色球的分配可以得到：
- 在盒子1中随机抽一个球，是蓝色的概率为4/5，绿的的概率为1/5
- 在盒子2中随机抽一个球，是蓝色的概率为2/5，绿的的概率为3/5

现在随机从两个盒子种抽一个球，抽到的是盒子1种蓝色球的概率是： $P(B_1|Blue) = \frac{P(Blue|B_1)P(B_1)}{P(Blue|B_1)P(B_1)+P(Blue|B_2)P(B_2)}=\frac{4}{5}$

3.2 概率与分类的关系

将上面两个盒子换成两个类别：
知道红色方框的值，就可以计算出给一个x，它是属于哪个类型的， $P(C_1|x)$ 和 $P(C_2|x)$ ，哪个列别的概率大就属于哪个类别。接下来就需要从训练集中估测红色方框中的值。这一套想法叫做生成模型(Generative Model)。因为有了这个模型，就可以生成一个x，可以计算某个x出现的概率，知道了x的分布，就可以产生自己的x。

3.2.1 先验概率

先考虑简单的二分类，水属性或者一般属性，通过训练集的数据可以计算出和，如下图：
- 水属性占比： $P(C_1) = 0.56$
- 普通属性占比： $P(C_2)=0.44$

下面我们要计算海龟是水属性的概率，我们向模型中输入的是一个特征向量，也就是在水洗神奇宝贝中随机选一只，是海龟的概率。下面将训练集中的79个水系的神奇宝贝，属性Defense和SP Defense进行可视化，这里我们可以假设这79个点是从高斯分布(Gussian distribution)中采样的，现在需要从这79个点中找出符合的那个高斯分布。

3.2.2 高斯分布

我们可以把高斯分布看作一个函数，输入就是一个向量x，输出就是选中x的概率（实际上高斯分布不等于概率，只是和概率成正比）。函数是由期望 $\mu$ 和协方差矩阵 $\Sigma$ 决定。下图先后说明了同样的 $\Sigma$ ，不同的 $\mu$ ，概率分布的最高点的位置是不同的；同样的 $\mu$ ，不同的 $\Sigma$ ，概率分布的最高点是一样的，但是离散程度不同。

我们可以假设通过79个点估测出了期望 $\mu$ 和协方差矩阵 $\Sigma$ 。期望是图中的黄色点，协方差举证是红色的范围。现在给一个不在79个点之内的新点，用刚才估测出的期望和协方差矩阵写出高斯分布的函数 $f_{\mu ,\Sigma }(x)$ ，然后把x代入，计算被挑选出来的概率。

3.2.3 最大似然估计

首先对于这79个点，任意期望和协方差矩阵构成的高斯分布，都可以生成这些点。但是他们产生这些点的可能性不同。给定一个 $\mu$ 和 $\Sigma$ ，他们生成点的概率为 $L(\mu ,\Sigma )$ ， $L(\mu ,\Sigma )$ 也称为样本的似然函数。将使得 $L(\mu ,\Sigma )$ 最大的 $L(\mu ,\Sigma )$ 记做 $(\mu ^*, \Sigma ^*)$ ， $(\mu ^*, \Sigma ^*)$ 就是所有 $L(\mu ,\Sigma )$ 的Maximum Likelihood(最大似然估计)

3.2.4 应用最大似然估计计算期望和协方差

四、分类模型

4.1 分类

我们得到需要计算的值，就可以进行分类了，左上角的图中蓝色点是水属性的神奇宝贝，红色点是一般属性的神奇宝贝，图中的颜色：越偏向红色代表是水属性的可能性越高，越偏向蓝色代表是水属性的可能性越低。右上角在训练集上进行分类的结果，红色就是 $P(C_1|x)$ 大于0.5的部分，是属于类别1，相对蓝色属于类别2。右下角是放在测试集上进行分类的结果。结果是测试集上正确率只有 47% 。当然这里只处理了二维（两个属性）的情况，那在7维空间计算出最大释然估计值，此时μ是7维向量，Σ是7维矩阵。得到结果也只有54% 的正确率。

4.2 模型优化

通常来说，不会给每个高斯分布都计算出一套不同的最大似然估计，协方差矩阵是和输入feature大小的平方成正比，所以当feature很大的时候，协方差矩阵是可以增长很快的。此时考虑到model参数过多，容易Overfitting，为了有效减少参数，给描述这两个类别的高斯分布相同的协方差矩阵。

此时修改似然函数为 $L(\mu ^1, \mu ^2, \Sigma )$ 。 $\mu ^1, \mu ^2$ 计算方法和之前相似。分别加起来取平均值即可。但是 $\Sigma$ 的计算有所不同，为每个 $\Sigma$ 的加权和。

五、概率模型-建模三部曲

上述问题我们可以简化为三步

实际我们要做的就是找到一个概率分布模型，可以最大化的产生data的likelihood。

六、后验概率

标签：概率,机器,Classification,李宏毅,分类,协方差,类别,皮卡丘,高斯分布
来源： https://blog.csdn.net/qq_38689352/article/details/114820223