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概率论_十统计量一

2021-03-09 18:04:06 作者：互联网

前言：

1：总体和样本

2：统计量和常用统计量

3： $x^2$ 分布(卡方分部 )

4： t 分布和 F分布

一总体和样本

例：

要研究某校5000个学生的身高

目的：用部分的数据推断出总体未知参数

总体：研究的对象全体，5000个学生

个体：总体中的成员。例如某个学生的身高，

总体容量：总体中包含的个体数，如上是5000

有限总体：容量有限

无限总体：容量无限

样本：总体中抽取一部分个体 $\begin{Bmatrix} x_1 ,& x_2, & ..., & x_n \end{Bmatrix}$ ，根据这部分个体的数据，并利用概率论知识作出分析和腿短，被抽取的部分个体叫做样本。

抽样方式：

放回抽样，总体容量有限

不放回抽样：总体容量很大，或者无限大

样本性质：

$X_i$ 与X 同分布， $x_1,x_2,..x_n$ 独立且为随机变量

总体的某个指标X，可以看作一个随机变量，也简称X为总体。

分布函数 : F(X)

二统计量常用统计量

从样本中提取有用信息来研究总体的分布以及各种特征数

统计量：

样本总不含有任何未知参数的函数

设 $(X_1,X_2,...X_n)$ 为样本，若 $g(X_1,X_2,...X_n)$ 不含有任何未知参数，则称 $g(X_1,X_2,...X_n)$ 为统计量

2.1 常用样本统计量

样本均值： $\bar{X}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

样本方差： $S^2= \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})$

样本标准差： $S=\sqrt{S^2}$

样本k阶矩 : $A_k=\frac{1}{n} \sum X_i^k$

样本k阶中心矩 $B_k=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^k$

例子：

总体为 88,75,70,63 ，总体的均值为74，方差为83.5

从中随机抽样两个数据，求样本均值，样本方差，样本k阶矩

import numpy as np



#获取样本特征
def GetSample(data):
    
    m= len(data)
    
    for i in range(m):
        for j in range(m):

            a = data[i]
            b = data[j]   
            sample = [a,b]
            
            u = np.mean(sample)
            c = np.power(a-u,2)+np.power(b-u,2)
            var = c
            kMartrix = c/2
            
            print("\n 样本: ",sample,"\t 样本均值 ",u,"\t 样本方差 ",var,"\t 样本2阶中心矩 ",kMartrix)

#获取总体特征
def GetTotal(data):
    
    
    u = np.mean(data)
    var = np.var(data)


    print("\n  总体均值 x: ",u,"\t 总体方差: ",var)
    
data= [88,75,70,63]
GetTotal(data)
GetSample(data)    
===============================
 总体均值 x:  74.0          总体方差:  83.5

 样本:  [88, 88]   样本均值  88.0      样本方差  0.0       样本2阶中心矩  0.0

 样本:  [88, 75]   样本均值  81.5      样本方差  84.5      样本2阶中心矩  42.25

 样本:  [88, 70]   样本均值  79.0      样本方差  162.0     样本2阶中心矩  81.0

 样本:  [88, 63]   样本均值  75.5      样本方差  312.5     样本2阶中心矩  156.25

 样本:  [75, 88]   样本均值  81.5      样本方差  84.5      样本2阶中心矩  42.25

 样本:  [75, 75]   样本均值  75.0      样本方差  0.0       样本2阶中心矩  0.0

 样本:  [75, 70]   样本均值  72.5      样本方差  12.5      样本2阶中心矩  6.25

 样本:  [75, 63]   样本均值  69.0      样本方差  72.0      样本2阶中心矩  36.0

 样本:  [70, 88]   样本均值  79.0      样本方差  162.0     样本2阶中心矩  81.0

 样本:  [70, 75]   样本均值  72.5      样本方差  12.5      样本2阶中心矩  6.25

 样本:  [70, 70]   样本均值  70.0      样本方差  0.0       样本2阶中心矩  0.0

 样本:  [70, 63]   样本均值  66.5      样本方差  24.5      样本2阶中心矩  12.25

 样本:  [63, 88]   样本均值  75.5      样本方差  312.5     样本2阶中心矩  156.25

 样本:  [63, 75]   样本均值  69.0      样本方差  72.0      样本2阶中心矩  36.0

 样本:  [63, 70]   样本均值  66.5      样本方差  24.5      样本2阶中心矩  12.25

 样本:  [63, 63]   样本均值  63.0      样本方差  0.0       样本2阶中心矩  0.0

二卡方分布

2.1 定义

设随机变量 $X_1,....,X_n$ 相互独立，都服从N(0,1)分布

$X^2= \sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为n的卡方分布，记作

$X^2 \sim X^2(n)$

自由度：右端包含独立变量的个数n

2.1 Gamma 函数

$\gamma(a)=\int_{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx$

性质

$\gamma(1)=1$

$\gamma(2)=1$

$\gamma(n)=(n-1)!$

证明：使用分部积分和洛必达法则可得：

$u=x,v=-e^{-x}$

$\gamma(2) = -xe^{-x}|_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1$

其他的同理：前半部分为0（洛必达法则），后半部分前一部分*n(分部积分）

第二类Gamma 函数

$\gamma(a)=2\int_{0}^{\infty}t^{2a-1}e^{-t^2}dt$

所以 $\gamma(1/2)=\sqrt_{\pi}$

2.3 卡方函数的概率密度

$f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2\gamma(n/2)}(\frac{x}{2})^{n/2-1}e^{-x/2},x>0\\ 0, x\leq 0 \end{matrix}\right.$

要证明上式:

主要分为两步证明：

--------------------------step1 ---------------------------------------

a: $Y=X^2$ , $X \sim N(0,1)$ ,求Y得概率密度

证明：

$F(Y)=P\begin{Bmatrix} Y \leq y \end{Bmatrix} =P \begin{Bmatrix} X^2 \leq y \end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} -\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y} \end{Bmatrix}= F_x(\sqrt{y})-F_x(-\sqrt{y})$

求导后

$f(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}(f_x(\sqrt{y})-f_x(-\sqrt{y}))$

带入正态分布后

$f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}y^{-1/2}e^{-y/2}$

----------------step2 伽玛函数的可加性性质 -------------------------------------------

单个 $\gamma$ 密度函数定义如下：

$f(y)=\frac{1}{\gamma(k)\theta^k}y^{k-1}e^{-x/\theta}$ 记作 $\gamma(k,\theta)$ , 可以看出 $Y=X^2$ 服从 $\gamma(1/2,2)$ 的分布

再证明下面两个卡方分布的性质

$Z=X+Y$

其X,Y复杂伽玛分布

$f(x)=\frac{x^{a-1}e^{-x/\theta}}{\theta^{a}\gamma(a)},x>0,\theta>0$ ，记作 $X \sim \gamma(\theta,a)$

$f(x)=\frac{y^{b-1}e^{-y/\theta}}{\theta^{b}\gamma(b)},x>0,\theta>0$ , 记作 $Y \sim \gamma(\theta,b)$

则 $Z\sim \gamma(\theta, a+b)$ 的伽玛分布

证明：

$f_z(z)=\int f_x(x)f_y(z-x)dx$

$=\int_{0}^{z} \frac{x^{a-1}e^{-x/\theta}}{\theta^{a}\gamma(a)} \frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)/\theta}}{\theta^{b}\gamma(b)}dx$

$=\frac{e^{-z/\theta}}{\theta^{a+b}\gamma(a)\gamma(b)}\int_{0}^{z} x^{a-1}(z-x)^{b-1}dx$

令 $x=zt,t\in[0,1]$

$f_z(z)=\frac{e^{-z/\theta}}{\theta^{a+b}\gamma(a)\gamma(b)}\int_{0}^{1}z^{a-1}t^{a-1}(z-zt)^{b-1}zdt$

$=\frac{e^{-z/\theta}}{\theta^{a+b}\gamma(a)\gamma(b)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}z^{a+b-1}dt$

$=\frac{e^{-z/\theta} z^{a+b-1}}{\theta^{a+b}\gamma(a)\gamma(b)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$

令 $A=\frac{1}{\theta^{a+b}\gamma(a)\gamma(b)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$ 为一个常数

$f_z(z)=e^{-z/\theta}z^{a+b-1}A$

根据

$1=\int_{-\infty }^{\infty } f_z(z)dz =\int_{0}^{\infty}Ae^{-z/\theta}z^{a+b-1}dz$

令 $z/\theta=t$

$1=\theta^{a+b}A \int_{0}^{\oe }e^{-t}t^{a+b-1}dt$

$A= \frac{1}{\gamma(a+b)\theta^{a+b}}$

所以

$f(z)=\frac{e^{-z/\theta}z^{a+b-1}}{\theta^{a+b}\gamma(a+b)},x>0,\theta>0$ $\sim \gamma(\theta,a+b)$

2.3 卡方概率密度函数的图形（自由度1,4,10,20）

随着自由度增大，峰值右移动

2.5 卡方函数的性质

1 E(X)=1

证明：

$X^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2$

因为 $E(X_i^2)=D(X_i)+E^2(X_i)=1+0=1$

所以 $E(X^2)=\sum E(X_i^2)=\sum 1 = n$

2 D(X) = 2

证明：

$D(X)=\sum D(X_i^2)$

$=E(X_i^4)-E^2(X_i^2)$

其中：

$E(X_i^2)=1=\int X_i^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx$

$E(X_i^4)=\int X_i^4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx$

$U= x^3,V=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$

则： $E(X_i^4)= [X_i^3 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}]_{-\infty}^{\infty} +\int 3 X_i^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx$

$=0+3E(X_i^2)=3$

所以 $D(X)=\sum(3-1)=2n$

3: $Y_1\sim X^2(n_1),Y_2 \sim X^2(n_2)$ ,且 $Y_1,Y_2$ 相互独立，则

$Y_1+Y_2\sim X^2(n_1+n_2)$ ,可以推广到m个随机变量

2.6 上 $\alpha 分位数$ 分位数

给定 $\alpha$ , $0<\alpha<1$ ,称满足

$P(X^2>X_{\alpha}^2(n))=\alpha$ 的点 $X_{\alpha}^2(n)$ 为卡方分布的上 $\alpha$ 分位数，如下图其实就是阴影部分的面积。后面假设检验里面，一般 $\alpha$ 取值很小0.05左右

2.6 应用例子

例1： $X \sim N(u,\sigma^2)$ , $(X_1,X_2,...,X_n)$ 为随机采样的样本

求 $X^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum(X_i-u)^2$

令： $Y_i=\frac{X_i-u}{\sigma}$ $\sim N(0,1)$

则： $X^2=\sum Y_i^2$ 服从自由度为n的卡方分布

例子2：手上有5个手机，每个手机开机时间都符合正态分布，则

每个手机开机时间标准化后，其和也符合卡方分布

例3：一个病人，有5个指标，每次检验结果都不一样，都符合正态分布，则

每个指标标准化后，其和符合卡方分布

标签：总体,7D%,中心矩,方差,样本,样本均值,概率论,统计
来源： https://blog.csdn.net/chengxf2/article/details/114287236

概率论_十 统计量一

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