CGAL 5.2 - 2D Apollonius Graphs (Delaunay Graphs of Disks)学习与翻译
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文章目录
定义
根据图片提出问题：
what is apollonius diagram？
what is apollonius graph？
已知apollonius graph和apollonius diagram是对偶的关系，下面就是针对上面的两个问题提出定义。
CGAL的2D Apollonius graph类旨在计算 Apollonius diagram或Additively weighted Voronoi diagram（加权voronoi图）的对偶
Apollonius diagrams
part 1
在图上有一组站点， P i = ( c i , w i ) , i = 1... n P_i=(c_i,w_i),i=1...n Pi=(ci,wi),i=1...n，其中 c i c_i ci是 P i P_i Pi的点(point)， w i w_i wi是 P i P_i Pi的权值(weight)。它把平面细分成相互连接的区域，称为细胞（cell），与站点相关的。(见 Figure 52.1 (left))
点 P i P_i Pi的 c e l l cell cell是平面上比点 P j P_j Pj更接近 P i P_i Pi的点的轨迹， j ≠ i j≠i j=i。
平面上点
x
x
x到点
P
i
P_i
Pi的距离
δ
(
x
,
P
i
)
δ(x,P_i)
δ(x,Pi)定义为:
δ
(
x
,
P
i
)
=
∥
x
−
c
i
∥
−
w
i
δ(x,Pi)=∥x−ci∥−wi
δ(x,Pi)=∥x−ci∥−wi
(本质即为 x x x 到 c i c_i ci 的距离 - w i w_i wi)
其中
∥
∥
∥为欧几里得范数。即
x
x
x是
n
n
n维向量
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
(x_1,x_2,…,x_n)
(x1,x2,…,xn)，
∣
x
∣
=
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}
∣x∣=x12+x22+...+xn2
很容易看出，voronoi图是此图的一种特殊情况，即 w i = 0 w_i=0 wi=0时，得到的是voronoi图。
然而，位点Pi可能有一个空单元格（ e m p t y c e l l empty\ \ cell empty cell）。这也可能发生在 p o w e r d i a g r a m power \ \ diagram power diagram的情况下，其对偶是规则的三角剖分( r e g u l a r t r i a n g u l a t i o n regular \ \ triangulation regular triangulation)
如果是这种情况，我们将站点称为隐藏的（ h i d d e n hidden hidden）(图52.1中的黑色圆圈)。一个不隐藏的站点将被称为可见的（ v i s i b l e visible visible）。
part 2 : 关于 w i w_i wi的讨论
如果所有权数 w i w_i wi都是非负的，那么Apollonius图可以看作是{P1，…，Pn}的圆集的Voronoi图，其中ci为圆心Pi, wi为圆心半径。
(可以理解为，设 x x x 到以 c i c_i ci为圆心， w i w_i wi为半径的圆的最短距离 = d i s t a n c e = distance =distance，则 δ ( x , P i ) δ(x,Pi) δ(x,Pi) = {圆外： d i s t a n c e distance distance || 圆内： − d i s t a n c e -distance −distance )
如果权数允许为负，我们需要到三维来解释Apollonius图在几何上的意义。
（这块负值这里我没有看懂）
我们把 二维欧几里得平面 与 三维中的xy平面 等同起来。
那么点集的Voronoi图可以看作是一组三维圆锥体的下包络线（the lower envelope of a set of 3D cones ）在xy平面上的垂直投影，定义如下 : 对于二维点集中的每个点 p p p，我们有一个顶点为 p p p的圆锥 C p C_p Cp。 C p C_p Cp的轴是一条直线平行于z轴通过 p p p, C p C_p Cp 的角度45∘角。最后， C p C_p Cp包含在正z半空间中。
Apollonius图相当于在z方向移动这些圆锥体的顶点用一个等于weight的量。权值为负的wi会产生顶点在负z-半空间的圆锥，权值为正的wi会产生顶点在正z-半空间的锥。以一种类似于点的方式，Apollonius图可以定义为移位的锥集的下包络线在xy平面上的垂直投影。
请注意，当所有顶点沿z方向平移相同数量时，锥集的下包络线的投影不会改变。特别地，我们可以将所有锥平移足够大的量，这样所有的顶点都在正z-半空间中。从代数上讲，这意味着如果我们把相同的量加到所有的权重上，Apollonius图不会改变，这特别意味着我们可以假设所有的权重都是正的。
根据以上的观察结果，为了简化我们对Apollonius diagrams的讨论，从现在开始，我们假设所有的权重都是正的，我们将把这些站点当作圆（refer to the sites as circles）。
Apollonius graph
part 1
The Apollonius diagram 是一个平面图, 它的对偶 the Apollonius graph 也是平面图。有很多方法可以将它嵌入到平面上，其中一种方法如Figure 52.1 (right).所示。
一旦我们有了Apollonius diagram，Apollonius graph就被唯一地定义了。如果这些圆的位置是一般的（ g e n e r a l p o s i t i o n general \ \ position general position）(请参阅下面的精确定义)，那么Apollonius graph是一些三角形面（远离 这些圆构成的凸包 ）所组成的图。在凸包 近处 ，我们可能有一些尖刺(即1度的顶点)。
(所谓三角形，我们指的是每个面恰好有三条边—不一定是直线边)。
为了统一我们对Apollonius graph的处理方法，我们在(有限的)圆的集合上加上一个无限大的虚构圆，我们把这个圆的位置称为无限大（ t h e s i t e a t i n f i n i t y the \ \ site\ \ at\ \ infinity the site at infinity）。
我们可以把 Apollonius graph 外表面的所有顶点都连接 t h e s i t e a t i n f i n i t y the \ \ site\ \ at\ \ infinity the site at infinity ，这样我们就得到了一个图，它所有的面都是三角形的。
然而，Apollonius graph 并不是一个三角剖分图，主要有两个原因：一是它的三角形边有曲线边；二是我们可能有一个图的两个面有两条共同的边，这在三角剖分中是不允许的。（ Figure 52.1（right）所示的Apollonius graph的圆集图，这两种特性就都出现了。）
part 2 ：general position
我们想通过讨论一般位置（ g e n e r a l p o s i t i o n general \ \ position general position）的概念来结束我们对 Apollonius graphs理论的简要介绍。
如果没有两个三元圆（triplets of circles）具有相同的相切圆（ tritangent circle），则称一组圆处于一般位置。这一陈述是相当专业的，最好在 点的环境下 中加以理解。对于点的等价表述是，我们没有定义同一个外圆的两个三连点（triplets of points），或者等价地说，没有四个点是同圆的。相反，当我们有退化位置的圆时（in degenerate position），Apollonius graph 的存在面有三条以上的边。我们可以通过任意方式简单地对相应的面进行三角化，得到一个图形的三角化版本。
事实上，在CGAL中实现的算法具有这样一个特性:它总是返回一个有效的 Apollonius graphs的三角化版本。这里的"有效"是指它包含了实际的Apollonius graph (也就是Apollonius diagram的实际对偶)，并且当存在面的边数大于三的时候，该面和构成它的面们，就被三角化了。它们被三角化的方式取决于图表中圆圈插入和删除的顺序。（这一段没有看懂）
part 3 ：hidden circles
最后一点是关于隐藏圆圈的（hidden circles）。首先，我们想要更精确地定义隐藏圆:如果一个圆的单元格内部是空的（empty interior），我们就说它是隐藏的。这个定义允许我们保证所有可见的圆圈都有二维区域的细胞。从几何学上讲，一个圆是隐藏的，这意味着它包含在另一个圆的圆盘的闭合中(参见图52.1)。注意，包含在几个圆盘的并集中的圆，而不包含在其中任何一个圆盘的闭包中，是不隐藏的。
隐藏的圆圈给我们的算法和软件设计带来了额外的困难。因为我们允许在希望的情况下插入和删除圆圈，所以在某个时间点隐藏的圆圈可能会在以后的时间点变得可见;例如，如果我们删除隐藏它的圆，就会发生这种情况。为了这个目的，我们储存隐藏的圆圈，当它们变得可见时，让它们重新出现。我们将在下面详细讨论这个问题。就目前而言，用户有能力控制这种行为就足够了。更具体地说，我们可以抛弃隐藏的圆圈。例如，当我们期望只做插入时，这种选择是完全自然的，因为在这种情况下，隐藏的圆将永远不会再次出现。另一方面，如果删除也是预期的，那么我们就失去了让隐藏的圆圈重新出现的能力。
标签：Apollonius,5.2,graph,wi,隐藏,Graphs,Pi,我们 来源： https://blog.csdn.net/qikik/article/details/113943889