[NOI 2001] 陨石的秘密 题解

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思路

首先我们发现可以搜索，但是明显会TLE，因为组合数学的结果是以指数倍增长的，结果会很大，明显不行。
由于不要输出路径，那么考虑DP。
令\(f_{i,j,k,d}\)为深度\(d\)，{}\(i\)对，[]\(j\)对，()\(k\)对的结果。
我们发现这样很难得出结果。
我们令\(f_{i,j,k,d}\)为深度小于等于\(d\)，{}\(i\)对，[]\(j\)对，()\(k\)对的结果，貌似可以好一点得到结果。

我们利用{}[]()将字符串进行分割。令A B，那么就有三种情况：{A}B [A]B (A)B，当然A B也可能是空串。不难证明这种DP方式是不重不漏的。
DP式如下：

\[f_{i,j,k,d}=\sum^{i-1}_{a=0}\sum^{j}_{b=0}\sum^{k}_{c=0}f_{a,b,c,d-1}\times f_{i-a-1,j-b,k-c,d}\ +\ \sum^{j-1}_{a=0}\sum^{k}_{b=0}f_{i,j-1-a,k-b,d}\times f_{0,a,b,d-1}\ +\ \sum^{k-1}_{a=0}f_{i,j,k-a-1,d}\times f_{0,0,a,d-1} \]

初值：\(f_{0,0,0,0}=1\)（空串深度为\(0\)只有\(1\)种可能）

细节

得出最后的 结果是\(f_{l_1,l_2,l_3,d}-f_{l_1,l_2,l_3,d-1}\)。
但是，如果这么做，其实是错误的，因为\(l_1,l_2,l_3,d\)有可能会为\(0\)，那么我们就可以发现以下结论：

\(l_1,l_2,l_3\)	\(d\)	结果	解释
都为\(0\)	\(0\)	\(1\)	空串深度为\(0\)只有\(1\)种可能
都为\(0\)	不为\(0\)	\(0\)	空串不可能深度为\(1\)
不都为\(0\)	\(0\)	\(0\)	非空串的深度一定大于等于\(1\)

最后注意精度问题，要用unsigned long long。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 12
#define MOD (ll)11380
#define MODx f[i][j][k][d]%=MOD;
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
ll f[maxn][maxn][maxn][39];
int l1,l2,l3,D;
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&l1,&l2,&l3,&D);
	for(int i=0;i<=D;i++)
	    f[0][0][0][i]=1;
	for(int d=1;d<=D;d++)
	for(int i=0;i<=l1;i++)
	for(int j=0;j<=l2;j++)
	for(int k=0;k<=l3;k++){
		if(i==0&&j==0&&k==0) continue;
		for(int a=0;a<i;a++)
		for(int b=0;b<=j;b++)
		for(int c=0;c<=k;c++){
		f[i][j][k][d]=(f[i][j][k][d]+(ll)f[i-a-1][j-b][k-c][d]*f[a][b][c][d-1])%MOD;
		}
		
		for(int a=0;a<j;a++)
		for(int b=0;b<=k;b++){
		f[i][j][k][d]=(f[i][j][k][d]+(ll)f[i][j-a-1][k-b][d]*f[0][a][b][d-1])%MOD;
		}
		
		for(int a=0;a<k;a++){
		f[i][j][k][d]=(f[i][j][k][d]+(ll)f[i][j][k-a-1][d]*f[0][0][a][d-1])%MOD;
		}
	}
	if(D==0){
		if(l1==0&&l2==0&&l3==0) printf("1");
		else printf("0");
	}
	else if(l1==0&&l2==0&&l3==0){
		printf("0");
	}
	else cout<<(f[l1][l2][l3][D]-f[l1][l2][l3][D-1]+MOD)%MOD;
	return 0;
}

标签：NOI,结果,题解,sum,long,2001,maxn,深度,空串
来源： https://www.cnblogs.com/jiangtaizhe001/p/14405518.html