卷积的本质及物理意义
作者：互联网
1.幽默笑话——谈卷积的物理意义
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！
县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：
——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？
——费话，疼呗！
——我问的是：会有什么表现？
——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！
县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：
——呜呼呀！这曲线像一座高山，弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？
—— 呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？
——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：
t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！
也可以这样理解：T(τ)即第τ个板子，H(t-τ)就是第τ个板子引起的痛苦到t时刻的痛苦程度，所有板子加起来就是∫T(τ)H(t-τ)
2.从信号与系统的角度理解卷积
假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为：
Y(t)=h(t)x(t)
然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（<t）时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1)，这个过程可能是离散的，也可能是连续的，所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加，这就是卷积，用数学公式表示就是
y(s)=∫x(t)h(s-t)dt
标签：输出,打板子,卷积,本质,板子,无赖,痛苦,物理 来源： https://blog.csdn.net/u014697753/article/details/112647160