多项式

12 x 3 + 2 x − 16 12 x^{3}+2 x-16 12x3+2x−16

三项：

• 12x³

• 2x

• -16

• 两个系数(12 和 2) 和一个常量-16

• 变量 x

• 指数 ³

标准形式

随着x的指数增长排列（升幂）
3 x + 4 x y 2 − 3 + x 3 3 x+4 x y^{2}-3+x^{3} 3x+4xy2−3+x3

指数最高项在前（降幂）
x 3 + 4 x y 2 + 3 x − 3 x^{3}+4 x y^{2}+3 x-3 x3+4xy2+3x−3

多项式化简

x 3 + 2 x 3 − 3 x − x + 8 − 3 3 x 3 − 4 x + 5 \begin{array}{l}x^{3}+2 x^{3}-3 x-x+8-3 \\ 3 x^{3}-4 x+5\end{array} x3+2x3−3x−x+8−33x3−4x+5​

from random import randint
x = randint(1,100)                  # 取任意值验证多项式化简

(x**3 + 2*x**3 - 3*x - x + 8 - 3) == (3*x**3 - 4*x + 5)

True

多项式相加

( 3 x 3 − 4 x + 5 ) + ( 2 x 3 + 3 x 2 − 2 x + 2 ) 3 x 3 + 2 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 2 x + 5 + 2 5 x 3 + 3 x 2 − 6 x + 7 \begin{array}{c}\left(3 x^{3}-4 x+5\right)+\left(2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+2\right) \\ 3 x^{3}+2 x^{3}+3 x^{2}-4 x-2 x+5+2 \\ 5 x^{3}+3 x^{2}-6 x+7\end{array} (3x3−4x+5)+(2x3+3x2−2x+2)3x3+2x3+3x2−4x−2x+5+25x3+3x2−6x+7​

x = randint(1,100)


(3*x**3 - 4*x + 5) + (2*x**3 + 3*x**2 - 2*x + 2) == 5*x**3 + 3*x**2 - 6*x + 7

True

多项式相减

( 2 x 2 − 4 x + 5 ) − ( x 2 − 2 x + 2 ) ( 2 x 2 − 4 x + 5 ) + ( − x 2 + 2 x − 2 ) 2 x 2 + − x 2 + − 4 x + 2 x + 5 + − 2 x 2 − 2 x + 3 \begin{array}{c}\left(2 x^{2}-4 x+5\right)-\left(x^{2}-2 x+2\right) \\ \left(2 x^{2}-4 x+5\right)+\left(-x^{2}+2 x-2\right) \\ 2 x^{2}+-x^{2}+-4 x+2 x+5+-2 \\ x^{2}-2 x+3\end{array} (2x2−4x+5)−(x2−2x+2)(2x2−4x+5)+(−x2+2x−2)2x2+−x2+−4x+2x+5+−2x2−2x+3​

from random import randint
x = randint(1,100)

(2*x**2 - 4*x + 5) - (x**2 - 2*x + 2) == x**2 - 2*x + 3

True

多项式相乘

1. 用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式
2. 把相乘的结果合并同类项

( x 4 + 2 ) ( 2 x 2 + 3 x − 3 ) 2 x 6 + 3 x 5 − 3 x 4 + 4 x 2 + 6 x − 6 \begin{array}{c}\left(x^{4}+2\right)\left(2 x^{2}+3 x-3\right) \\ 2 x^{6}+3 x^{5}-3 x^{4}+4 x^{2}+6 x-6\end{array} (x4+2)(2x2+3x−3)2x6+3x5−3x4+4x2+6x−6​

x = randint(1,100)

(x**4 + 2)*(2*x**2 + 3*x - 3) == 2*x**6 + 3*x**5 - 3*x**4 + 4*x**2 + 6*x - 6

True

多项式相除

简单例子

( 4 x + 6 x 2 ) ÷ 2 x 4 x + 6 x 2 2 x 4 x 2 x + 6 x 2 2 x 2 + 3 x \begin{array}{c}\left(4 x+6 x^{2}\right) \div 2 x \\ \frac{4 x+6 x^{2}}{2 x} \\ \frac{4 x}{2 x}+\frac{6 x^{2}}{2 x} \\ 2+3 x\end{array} (4x+6x2)÷2x2x4x+6x2​2x4x​+2x6x2​2+3x​

x = randint(1,100)

(4*x + 6*x**2) / (2*x) == 2 + 3*x

True

长除法

( x 2 + 2 x − 3 ) ÷ ( x − 2 ) x − 2 ∣ x 2 + 2 x − 3 ‾ x − 2 ∣ x x 2 + 2 x − 3 x 2 − 2 x \begin{array}{c}\left(x^{2}+2 x-3\right) \div(x-2) \\ x-2 \mid \overline{x^{2}+2 x-3} \\ x-2 \mid \frac{x}{x^{2}+2 x-3} \\ x^{2}-2 x\end{array} (x2+2x−3)÷(x−2)x−2∣x2+2x−3​x−2∣x2+2x−3x​x2−2x​

x 2 ∣ x 2 + 2 x − 3 − ( x 2 − 2 x ) 4 x − 3 x − 2 ∣ x 2 + 2 x − 3 − ( x 2 − 2 x ) 4 x − 3 − ( 4 x − 8 ) 5 x + 4 + 5 x − 2 \begin{array}{c}\frac{x}{2 \mid x^{2}+2 x-3} \\ \frac{-\left(x^{2}-2 x\right)}{4 x-3} \\ x-2 \mid x^{2}+2 x-3 \\ \frac{-\left(x^{2}-2 x\right)}{4 x-3} \\ -\left(\frac{4 x-8)}{5}\right. \\ x+4+\frac{5}{x-2}\end{array} 2∣x2+2x−3x​4x−3−(x2−2x)​x−2∣x2+2x−34x−3−(x2−2x)​−(54x−8)​x+4+x−25​​

x = randint(3,100)

(x**2 + 2*x -3)/(x-2) == x + 4 + (5/(x-2))
                                

True

因式

16可以如下表示

• 1 x 16
• 2 x 8
• 4 x 4

或者 1, 2, 4, 8 是 16 的因子

用多项式乘来表示多项式

− 6 x 2 y 3 ( 2 x y 2 ) ( − 3 x y ) \begin{array}{c}-6 x^{2} y^{3} \\ \left(2 x y^{2}\right)(-3 x y)\end{array} −6x2y3(2xy2)(−3xy)​

又如

( x + 2 ) ( 2 x 2 − 3 y + 2 ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 3 x y + 2 x − 6 y + 4 (x+2)\left(2 x^{2}-3 y+2\right)=2 x^{3}+4 x^{2}-3 x y+2 x-6 y+4 (x+2)(2x2−3y+2)=2x3+4x2−3xy+2x−6y+4

那么x+2 和 2x² - 3y + 2 都是 2x³ + 4x² - 3xy + 2x - 6y + 4的因子

最大公共因子

16	24
1 x 16	1 x 24
2 x 8	2 x 12
2 x 8	3 x 8
4 x 4	4 x 6

8是16和24的最大公约数

15 x 2 y 9 x y 3 15 x^{2} y \quad 9 x y^{3} 15x2y9xy3

这两个多项式的最大公共因子是?

最大公共因子

先看系数，他们都包含3

• 3 x 5 = 15
• 3 x 3 = 9

再看x项， x² 和 x。

最后看y项, y 和 y³。

最大公共因子是3xy

最大公共因子

可见最大公共因子总包括

• 系数的最大公约数
• 变量指数的最小值

用多项式除来验证：

15 x 2 y 3 x y 9 x y 3 3 x y 3 x y ( 5 x ) = 15 x 2 y 3 x y ( 3 y 2 ) = 9 x y 3 \begin{array}{l}\frac{15 x^{2} y}{3 x y} \quad \frac{9 x y^{3}}{3 x y} \\ 3 x y(5 x)=15 x^{2} y \\ 3 x y\left(3 y^{2}\right)=9 x y^{3}\end{array} 3xy15x2y​3xy9xy3​3xy(5x)=15x2y3xy(3y2)=9xy3​

x = randint(1,100)
y = randint(1,100)

print((3*x*y)*(5*x) == 15*x**2*y)
print((3*x*y)*(3*y**2) == 9*x*y**3)

True
True

用系数最大公约数作因式分解

6 x + 15 y 6 x + 15 y = 3 ( 2 x ) + 3 ( 5 y ) 6 x + 15 y = 3 ( 2 x ) + 3 ( 5 y ) = 3 ( 2 x + 5 y ) \begin{array}{c}6 x+15 y \\ 6 x+15 y=3(2 x)+3(5 y) \\ 6 x+15 y=3(2 x)+3(5 y)=3(2 x+5 y)\end{array} 6x+15y6x+15y=3(2x)+3(5y)6x+15y=3(2x)+3(5y)=3(2x+5y)​

x = randint(1,100)
y = randint(1,100)

(6*x + 15*y) == (3*(2*x) + 3*(5*y)) == (3*(2*x + 5*y))

True

用最大公共因子作因式分解

15 x 2 y + 9 x y 3 3 x y ( 5 x ) = 15 x 2 y 3 x y ( 3 y 2 ) = 9 x y 3 15 x 2 y + 9 x y 3 = 3 x y ( 5 x + 3 y 2 ) \begin{array}{c}15 x^{2} y+9 x y^{3} \\ 3 x y(5 x)=15 x^{2} y \\ 3 x y\left(3 y^{2}\right)=9 x y^{3} \\ 15 x^{2} y+9 x y^{3}=3 x y\left(5 x+3 y^{2}\right)\end{array} 15x2y+9xy33xy(5x)=15x2y3xy(3y2)=9xy315x2y+9xy3=3xy(5x+3y2)​

x = randint(1,100)
y = randint(1,100)

(15*x**2*y + 9*x*y**3) == (3*x*y*(5*x + 3*y**2))

True

用平方差公式作因式分解

x 2 − 9 x 2 − 3 2 ( x − 3 ) ( x + 3 ) \begin{array}{c}x^{2}-9 \\ x^{2}-3^{2} \\ (x-3)(x+3)\end{array} x2−9x2−32(x−3)(x+3)​

x = randint(1,100)

(x**2 - 9) == (x - 3)*(x + 3)

True

用平方作因式分解

x 2 + 10 x + 25 ( x + 5 ) ( x + 5 ) ( x + 5 ) 2 ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b \begin{array}{c}x^{2}+10 x+25 \\ (x+5)(x+5) \\ (x+5)^{2} \\ (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b\end{array} x2+10x+25(x+5)(x+5)(x+5)2(a+b)2=a2+b2+2ab​

a = randint(1,100)
b = randint(1,100)

a**2 + b**2 + (2*a*b) == (a + b)**2

True

二次方程

y = 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) y = 2 x 2 + 2 x − 4 \begin{array}{l}y=2(x-1)(x+2) \\ y=2 x^{2}+2 x-4\end{array} y=2(x−1)(x+2)y=2x2+2x−4​

x = np.array(range(-9, 9))
y = 2 * x **2 + 2 * x - 4
plt.plot(x, y, color="grey")  # 画二次曲线 （抛物线）
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.axhline()
plt.axvline()
plt.show()

会是什么形状？

y = − 2 x 2 + 6 x + 7 y=-2 x^{2}+6 x+7 y=−2x2+6x+7

x = np.array(range(-8, 12))
y = -2 * x ** 2 + 6 * x + 7
plt.plot(x, y, color="grey")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.axhline()
plt.axvline()
plt.show()

抛物线的顶点

y = a x 2 + b x + c y=a x^{2}+b x+c y=ax2+bx+c

a, b, c是系数

它产生的抛物线有顶点，或者是最高点，或者是最低点。

def plot_parabola(a, b, c):
    vx = (-1*b)/(2*a)              # 顶点
    vy = a*vx**2 + b*vx + c

    minx = int(vx - 10)            # 范围
    maxx = int(vx + 11)
    x = np.array(range(minx, maxx))
    y = a * x ** 2 + b * x + c
    miny = y.min()
    maxy = y.max()

    plt.plot(x, y, color="grey")    # 画曲线
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.grid()
    plt.axhline()
    plt.axvline()

    sx = [vx, vx]                   # 画中心线
    sy = [miny, maxy]
    plt.plot(sx, sy, color='magenta')

    plt.scatter(vx,vy, color="red") # 画顶点

plot_parabola(2, 2, -4)
plt.show()
plot_parabola(-2, 3, 5)
plt.show()

抛物线的交点（二次方程的解）

y = 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 0 x = 1 x = − 2 \begin{array}{c}y=2(x-1)(x+2) \\ 2(x-1)(x+2)=0 \\ x=1 \\ x=-2\end{array} y=2(x−1)(x+2)2(x−1)(x+2)=0x=1x=−2​

# 画曲线
plot_parabola(2, 2, -4)

# 画交点
x1 = -2
x2 = 1
plt.scatter([x1,x2],[0,0], color="green")
plt.annotate('x1',(x1, 0))
plt.annotate('x2',(x2, 0))

plt.show()

二次方程的解公式

a x 2 + b x + c = 0 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a \begin{array}{c}a x^{2}+b x+c=0 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\end{array} ax2+bx+c=0x=2a−b±b2−4ac ​​​

def plot_parabola_from_formula (a, b, c):
    plot_parabola(a, b, c)                      # 画曲线

    x1 = (-b + (b*b - 4*a*c)**0.5)/(2 * a)
    x2 = (-b - (b*b - 4*a*c)**0.5)/(2 * a)

    plt.scatter([x1, x2], [0, 0], color="green") # 画解
    plt.annotate('x1', (x1, 0))
    plt.annotate('x2', (x2, 0))
    plt.show()
    

plot_parabola_from_formula (2, -16, 2)

函数

f ( x ) = x 2 + 2 f ( 3 ) = 11 \begin{array}{c}f(x)=x^{2}+2 \\ f(3)=11\end{array} f(x)=x2+2f(3)=11​

def f(x):
    return x**2 + 2

f(3)

11

x = np.array(range(-100, 101))

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid()

plt.plot(x, f(x), color='purple')

plt.show()

函数的定义域

f ( x ) = x + 1 , { x ∈ R } g ( x ) = ( 12 2 x ) 2 , { x ∈ R ∣ x ≠ 0 } g ( x ) = ( 12 2 x ) 2 , x ≠ 0 \begin{array}{c}f(x)=x+1,\{x \in \mathbb{R}\} \\ g(x)=\left(\frac{12}{2 x}\right)^{2},\{x \in \mathbb{R} \quad \mid \quad \mathbf{x} \neq 0\} \\ g(x)=\left(\frac{12}{2 x}\right)^{2}, \quad x \neq 0\end{array} f(x)=x+1,{x∈R}g(x)=(2x12​)2,{x∈R∣x​=0}g(x)=(2x12​)2,x​=0​

def g(x):
    if x != 0:
        return (12/(2*x))**2

x = range(-100, 101)
y = [g(a) for a in x]

print(g(0.1))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('g(x)')
plt.grid()
plt.plot(x, y, color='purple')

# 绘制临界点， 如果取接近0的值，临界点附件函数的形状变得不可见
plt.plot(0, g(1), color='purple', marker='o', markerfacecolor='w', markersize=8)
plt.show()

3600.0

h ( x ) = 2 x , { x ∈ R ∣ x ≥ 0 } h(x)=2 \sqrt{x},\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} h(x)=2x ​,{x∈R∣x≥0}

def h(x):
    if x >= 0:
        return 2 * np.sqrt(x)

x = range(-100, 101)
y = [h(a) for a in x]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('h(x)')
plt.grid()

plt.plot(x, y, color='purple')
# 画出边界
plt.plot(0, h(0), color='purple', marker='o', markerfacecolor='purple', markersize=8)

plt.show()

j ( x ) = x + 2 , x ≥ 0  and  x ≤ 5 { x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 5 } \begin{aligned} j(x) &=x+2, \quad x \geq 0 \text { and } x \leq 5 \\ &\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq \mathrm{x} \leq 5\} \end{aligned} j(x)​=x+2,x≥0 and x≤5{x∈R∣0≤x≤5}​

def j(x):
    if x >= 0 and x <= 5:
        return x + 2

x = range(-100, 101)
y = [j(a) for a in x]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('j(x)')
plt.grid()

plt.plot(x, y, color='purple')

# 两个边界点
plt.plot(0, j(0), color='purple', marker='o', markerfacecolor='purple', markersize=8)
plt.plot(5, j(5), color='purple', marker='o', markerfacecolor='purple', markersize=8)

plt.show()

阶梯函数

k ( x ) = { 0 ,  if  x = 0 1 ,  if  x = 100 k(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { if } x=0 \\ 1, & \text { if } x=100\end{array}\right. k(x)={0,1,​ if x=0 if x=100​

def k(x):
    if x == 0:
        return 0
    elif x == 100:
        return 1

x = range(-100, 101)
y = [k(a) for a in x]

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('k(x)')
plt.grid()


plt.scatter(x, y, color='purple')

plt.show()

函数的值域

p ( x ) = x 2 + 1 { p ( x ) ∈ R ∣ p ( x ) ≥ 1 } \begin{array}{c}p(x)=x^{2}+1 \\ \{p(x) \in \mathbb{R} \quad \mid \quad \mathrm{p}(\mathrm{x}) \geq 1\}\end{array} p(x)=x2+1{p(x)∈R∣p(x)≥1}​

def p(x):
    return x**2 + 1

x = np.array(range(-100, 101))

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('p(x)')
plt.grid()

plt.plot(x, p(x), color='purple')

plt.show()

标签：plt,2x,初识,right,x2,代数方程,100,转载,array
来源： https://blog.csdn.net/qq_15378385/article/details/112186189