动态规划之不同的二叉查找树

不同的二叉查找树

给出 n，问由 1…n 为节点组成的不同的二叉查找树有多少种？

 样例 1：
 输入:
 	n = 3
 输出:
 	5
 解释: 
 	有5种不同形态的二叉查找树
 1           3    3       2      1
  \         /    /       / \      \
   3      2     1       1   3      2
  /      /       \                  \
 2      1         2                  3

解答：
定义dp[i] 为当节点数为i时，二叉查找树的种类数
看如下规律：
当节点为0时：dp[0] = 1
当节点为1时：dp[1] = 1
当节点为2时：dp[2] = dp[1] + dp[1] = 2
当节点为3时：dp[3] = dp[2] + dp[1] * dp[1] + dp[2] = 5
当节点为4时：dp[4] = dp[3] + dp[1] * dp[2] + dp[2] * dp[1] + dp[3] = 14
当节点为5时：dp[5] = dp[4] + dp[1] * dp[3] + dp[2] * dp[2] + dp[3] * dp[1] + dp[4] = 42
…

以上是何意呢？
举一个例子，假设节点为4，每一个节点都有成为根节点的机会：
当节点1为根节点时，左子树是0个节点，右子树是3个节点，左子树0个节点的表现形式有dp[0]种,右子树3个节点的表现形式有dp[3]种,左右组合则有dp[0] * dp[3]种
当节点2为根节点时，左子树是1个节点，右子树是2个节点，左子树1个节点的表现形式有dp[1]种,右子树2个节点的表现形式有dp[2]种,左右组合则有dp[1] * dp[2]种
当节点3为根节点时，左子树是2个节点，右子树是1个节点，左子树2个节点的表现形式有dp[2]种,右子树1个节点的表现形式有dp[1]种,左右组合则有dp[2] * dp[1]种
当节点4为根节点时，左子树是3个节点，右子树是0个节点，左子树3个节点的表现形式有dp[3]种,右子树0个节点的表现形式有dp[0]种,左右组合则有dp[3] * dp[0]种

故状态转换方程为：
dp[i] = dp[0]*dp[i] + dp[1]*dp[i-1] + … + dp[i-1]*dp[1] + dp[i]*dp[0];

可在运算过程优化，计算前半段乘以2即可

class Solution {
public:
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: An integer
     */
    int numTrees(int n) {
        // write your code here
        
        /*
        定义dp[i] 为当节点数为i时，二叉查找树的种类数
        看如下规律：
        当节点为0时：dp[0] = 1
        当节点为1时：dp[1] = 1
        当节点为2时：dp[2] = dp[1] + dp[1] = 2
        当节点为3时：dp[3] = dp[2] + dp[1] * dp[1] + dp[2] = 5
        当节点为4时：dp[4] = dp[3] + dp[1] * dp[2] + dp[2] * dp[1] + dp[3] = 14
        当节点为5时：dp[5] = dp[4] + dp[1] * dp[3] + dp[2] * dp[2] + dp[3] * dp[1] + dp[4] = 42
        ...
        
        以上是何意呢？
        举一个例子，假设节点为4，每一个节点都有成为根节点的机会：
        当节点1为根节点时，左子树是0个节点，右子树是3个节点，左子树0个节点的表现形式有dp[0]种,右子树3个节点的表现形式有dp[3]种,左右组合则有dp[0] * dp[3]种
        当节点2为根节点时，左子树是1个节点，右子树是2个节点，左子树1个节点的表现形式有dp[1]种,右子树2个节点的表现形式有dp[2]种,左右组合则有dp[1] * dp[2]种
        当节点3为根节点时，左子树是2个节点，右子树是1个节点，左子树2个节点的表现形式有dp[2]种,右子树1个节点的表现形式有dp[1]种,左右组合则有dp[2] * dp[1]种
        当节点4为根节点时，左子树是3个节点，右子树是0个节点，左子树3个节点的表现形式有dp[3]种,右子树0个节点的表现形式有dp[0]种,左右组合则有dp[3] * dp[0]种
        
        故状态转换方程为：
        dp[i] = dp[0]*dp[i] + dp[1]*dp[i-1] + ... + dp[i-1]*dp[1] + dp[i]*dp[0];
        
        可在运算过程优化，计算前半段乘以2即可。
        */
        
        int m = n + 1;
        
        int *dp = new int[m];
        
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i] = 0;
        }
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        
        for (int i = 2; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += (dp[j] * dp[i - j - 1]);
            }
        }
        
        int nRet = dp[n];
        delete[] dp;
        return nRet;
    }
};

标签：左子,表现形式,int,右子,二叉,查找,动态,节点,dp
来源： https://blog.csdn.net/liguan1102/article/details/112003565