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数学-数值分析1-内容简介

作者:互联网

数值分析1-内容简介

知识框架

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基础概念

误差基础概念

  1. 分类: 模型误差, 观测误差, 舍入误差, 截断/方法误差
    (1) 模型误差:实际问题和数学模型(抽象、简化实际问题)之间存在的误差
    (2) 观测误差:由于精度的限制,观察和测量时候产生的误差
    (3) 舍入误差:计算机字长的限制获得近似解舍去一些信息而产生的误差
    (4) 截断/方法误差:得不到精确解的数学模型通常用数值方法求近似解,二者之间的误差。
  2. 误差计算
    (1) 绝对误差( e ∗ e^{*} e∗): 准确值(x)-近似值( x ∗ x^{*} x∗)
      绝对误差限( ε ∗ \varepsilon^{*} ε∗): 绝对误差绝对值的上限
    (2) 相对误差: 绝对误差/准确值
      相对误差限( ε r ∗ \varepsilon_r^{*} εr∗​): 相对误差绝对值的上限
  3. 有效数字: 近似值的误差限是某一位的半个单位, 该位到第一位非0有n位,则有n个有效数字.
    x ∗ x^{*} x∗ = 3.1415926 有8位有效数字

误差估计

  1. 误差估计: x 1 ∗ x_1^{*} x1∗​ 和 x 2 ∗ x_2^{*} x2∗​ 的误差限分别为 ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*}) ε(x1∗​) , ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^{*}) ε(x2∗​), 运算后得到的误差限满足以下等式:
      (1) 加减: ε ( x 1 ∗ ± x 2 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*} \pm x_2^{*}) ε(x1∗​±x2∗​) ≤ \leq ≤ ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*}) ε(x1∗​) + ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^{*}) ε(x2∗​)
      (2) 乘法: ε ( x 1 ∗ x 2 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*} x_2^{*}) ε(x1∗​x2∗​) ≤ \leq ≤ | x 1 ∗ x_1^{*} x1∗​| ε ( x 2 ∗ ) \varepsilon(x_2^{*}) ε(x2∗​) + | x 2 ∗ x_2^{*} x2∗​| ε ( x 1 ∗ ) \varepsilon(x_1^{*}) ε(x1∗​)
      (3) 除法: ε ( x 1 ∗ x 2 ∗ ) \varepsilon(\frac{x_1^{*}}{x_2^{*}}) ε(x2∗​x1∗​​) ≤ \leq ≤ ε ( ∣ x 1 ∗ ∣ ε ( x 2 ∗ ) + ∣ x 2 ∗ ∣ ε ( x 1 ∗ ) ∣ x 2 ∗ ∣ 2 ) \varepsilon(\frac{|x_1^{*}| \varepsilon(x_2^{*}) + |x_2^{*}| \varepsilon(x_1^{*})}{|x_2^{*}|^2}) ε(∣x2∗​∣2∣x1∗​∣ε(x2∗​)+∣x2∗​∣ε(x1∗​)​)
    例: w ∗ w^* w∗: 110m, h ∗ h^* h∗: 80m, | w w w - w ∗ w^* w∗| ≤ \leq ≤ 0.2m, | h h h - h ∗ h^* h∗| ≤ \leq ≤ 0.1m,
    面积s=ld的绝对误差限 ε ( s ∗ ) \varepsilon (s^{*}) ε(s∗) ≈ \approx ≈ 80 * 0.2 + 110 * 0.1 = 27( m 2 m^2 m2)
    相对误差限 ε r ( \varepsilon_r( εr​(s ∗ ) ^{*}) ∗) = ε ( s ∗ ) ∣ s ∗ ∣ \frac{\varepsilon(s^{*})}{|s^{*}|} ∣s∗∣ε(s∗)​ ≈ \approx ≈ 27 110 ∗ 80 \frac{27}{110 * 80} 110∗8027​ = 0.31%

范数

基础矩阵

矩阵的变换与计算

常微分方程

数值积分与微分

数据的插值与拟合

线性方程组与非线性方程组

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来源: https://blog.csdn.net/qq_25439881/article/details/111767860