论文翻译六：A novel underwater acoustic signal denoising algorithm for Gaussian/non-Gaussian impulsive

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A novel underwater acoustic signal denoising algorithm for Gaussian/non-Gaussian impulsive noise

高斯/非高斯脉冲噪声的水下声信号去噪新算法

Jingjing Wang, Member, IEEE, Jiaheng Li, Shefeng Yan, Senior Member, IEEE, Wei Shi, Xinghai Yang, Ying
Guo and T. Aaron Gulliver, Senior Member, IEEE

摘要—水下声学（UWA）通道中的高斯/非高斯脉冲噪声严重影响了水下声通信的质量。 常见的降噪算法基于高斯噪声模型，难以应用于高斯/非高斯脉冲噪声的共存。 因此，本文结合对称的α稳定（SαS）分布和正态分布描述了一种新的UWA噪声模型。 此外，提出了一种新的水下声信号去噪算法，称为AWMF + GDES。
首先，通过自适应窗中值滤波器（AWMF）来自适应抑制非高斯脉冲噪声。 其次，提出了一种具有新阈值函数的增强小波阈值优化算法，以抑制高斯噪声。
基于最佳点集和动态精英群体指导相结合的模拟退火选择人工蜂群（GDES-ABC）算法获得最优阈值参数。
数值仿真结果表明，与现有算法相比，所提出的GDESABC算法的收敛速度和收敛精度分别提高了25％〜66％和21％〜73％。 最后，实验结果验证了本文提出的水下声信号去噪算法的有效性，并证明了基于GDES-ABC的小波阈值优化方法和AWMF + GDES算法均可获得较高的输出信噪比（SNR）。 ，噪声抑制率（NSR）和较小的均方根误差（RMSE）。

关键词-高斯/非高斯噪声，SαS，中值滤波器，小波阈值优化，SNR。

1.简介

声波是唯一可以实现水下介质和长距离传输的载体，因此在水下通信领域得到了广泛的应用。
但是，在水下声波（UWA）通信过程中，复杂的海洋环境噪声会影响声波信号，从而导致声波信号的降级和失真以及通信质量的下降[1]，[2]。

根据统计的中心极限定理，UWA噪声可描述为高斯噪声。 因此，水下大多数声信号处理方法都是基于高斯噪声假设的。 但是，很少有源会在特定的频率范围内占主导地位，这会通过限制噪声源的数量来与中心极限定理相抵触[3]。 此外，信号[4]-[6]中存在随机非高斯脉冲噪声，并且UWA噪声的概率密度函数（PDF）比高斯分布具有“更重的尾巴”。 当使用高斯噪声行为进行设计时，这将使系统的性能欠佳甚至更差。 因此，全面研究UWA噪声模型至关重要。
关于UWA噪声PDF的文献中已经提出了几种模型[3]，[7] – [11]，[14]。 高斯混合模型被广泛用于表征UWA噪声。
但是，用少量高斯[3]无法捕获较重的尾部。 与高斯混合模型相比，对称α稳定（SαS）分布具有脉冲噪声的“重尾”统计特征，使其与水下脉冲噪声的产生机理和传播条件相一致[7]。 不幸的是，它有一个局限性，除了α= 1,2 [3]之外，没有闭合形式的分布。 通过描述噪声源的时空规律和噪声的传播特性，Middleton模型的参数具有物理意义[11]。 在实践中，UWA噪声同时遭受无高斯脉冲噪声和高斯噪声的影响，如图1 [12]，[13]所示。
因此，用Middleton模型[14]很难确定几个参数。 因此，本文描述了结合SαS分布和正态分布模型的UWA噪声的组合噪声模型。 此外，高斯噪声和非高斯脉冲噪声的能量由SNR和混合信噪比（MSNR）定义

可以使用标准中值滤波器（SMF）抑制上述非高斯脉冲噪声。 但是，SMF处理接收信号的有用部分并使感兴趣的信号（SOI）失真。 为了解决这个问题，已经提出了各种改进的滤波算法[15]，[16]。 Vijaykumar等。 [17]提出了一种基于快速切换的中值均值滤波器，使用极小值和最大值来识别噪声，并将其替换为中值或均值。 Chanu等。 [18]提出了一种两级开关矢量中值滤波器，该滤波器两次检测到脉冲噪声，并用加权矢量中值代替噪声，以抑制脉冲噪声，同时保留SOI的细节。

另一方面，可以使用各种现有方法来有效地抑制高斯噪声，例如滤波方法，小波变换（WT）方法，经验模态分解（EMD）方法[19] – [21]和多级奇异频谱分析（MSSA） [22]。 在这些方法中，小波阈值方法被广泛使用，因为它可以获得SOI的渐近最优估计[23] – [25]。 阈值估计和阈值函数的构造是小波阈值方法的两个关键因素。 当前，广泛使用的阈值估计方法是Donoho和Johnstone等人提出的统一阈值估计方法。 [26] – [28]。 统一阈值估计方法基于高斯噪声模型下多维独立正态变量的决策理论。 此外，软阈值功能和硬阈值功能设计用于缩小小波系数并获得高去噪性能。 然而，上述方法取决于噪声方差的准确估计，并且难以应用于实际的未知噪声方差。
此外，上述方法根据固定结构缩小小波系数，这缺乏自适应性并降低了信号处理的灵活性。

为了克服上述局限性，Yi等人。 [29]提出了一种改进的基于Sigmoid函数的阈值方法，并讨论了小波基函数的类型，分解层数，阈值选择规则和阈值函数对降噪性能的影响。 Sumithra等。 [30]提出了一种修整阈值方法，以实现软阈值和硬阈值之间的折衷，以便有效地提高背景噪声中SOI的质量。 辛格等。 [31]使用调制信道选择作为阈值函数，并提出了一种基于小波包的去噪方法，与其他算法相比，该方法能够获得更高的输出信噪比。 基于改进的阈值功能，Zhang等人。 [32]提出了一种双树复数小波变换（ITF-DTCWT）去噪算法，以确保近似的平移不变性并减少信号失真。

为了进一步提高小波阈值方法的性能，已经使用了各种群体智能优化方法来优化阈值参数。 Sun等。 [33]提出了一种基于Shearlet变换和粒子群优化（PSO）算法的去噪方案。
该方案能够有效地消除伪吉布斯现象和噪声。 Bhutada等。 [34]通过最小化期望信号和输出信号之间的均方误差（MSE），优化了基于PSO算法的自适应阈值参数。 他等。 [35]提出了一种改进的基于双曲正切函数的阈值函数，并使用人工鱼群算法最小化了重构信号和预期信号的MSE，以获得最佳阈值参数。

但是，上述群体智能优化算法仍存在一些不足，例如收敛速度慢和局部细化不足[36]-[38]。 Kong等。 [39]提出了一种改进的人工蜂群算法（ABC），该算法基于精英群体指导和组合的广度深度搜索策略（ECABC），能够在短时间内实现较高的收敛精度。 Zhang等人基于三种动态调整策略来提高PSO算法的优化性能。 [40]提出了一种参数小波阈值信号去噪方法（MPSO）来优化小波阈值参数。 重构信号与预期信号之间的MSE用作MPSO的适应度函数，有效改善了输出信号的SNR和噪声抑制比（NSR）。

实际的水下声学通道包含高斯和非高斯脉冲噪声。 因此，难以直接应用基于群体智能优化的上述去噪算法。 首先，由于缺乏建立阈值函数的一般原理，难以构造阈值函数。 其次，阈值参数的确定是一个迭代过程，通常达到次优值而不是最优值。 第三，迭代次数的增加减少了种群的多样性，这将使上述算法陷入局部最优。

因此，本文提出了一种基于自适应窗中值滤波器结合小波阈值优化的水下声信号去噪算法AWMF + GDES。 首先，通过结合SαS分布和正态分布模型来描述水下声学通道中的高斯/非高斯脉冲噪声。 然后，提出了一种自适应窗中值滤波器（AWMF）来抑制非高斯脉冲噪声。 其次，在传统的小波阈值方法的基础上，设计了新的阈值函数，得到了需要优化的阈值参数。 然后，使用GDESABC算法获得最佳阈值参数，并抑制高斯噪声。 GDES-ABC算法的主要改进包括基于良好点集的种群初始化，基于动态精英群的邻域搜索以及模拟退火选择机制。

本文的贡献如下：

• 通过结合SαS分布和正态分布，描述了一个新的UWA噪声模型，并分别由SNR和MSNR定义了高斯噪声和非高斯脉冲噪声的能量。
  与现有的几种模型相比，所提出的模型可以捕获带有少量高斯的较重尾巴，并且每个α都具有闭合形式的分布。

• 根据脉冲噪声含量，AWMF根据所提出的自适应调整规则自适应地更改滤波器窗口的大小，从而有效地平衡了滤波器的滤波性能和计算复杂度。

• 为了减少伪吉布斯现象，设计并验证了新的阈值函数，以提高阈值收缩处理的连续性和平滑性。 同时，利用GDES-ABC算法获得最优阈值参数，提高了阈值参数的估计精度。 数值仿真表明，所提出的小波阈值优化方法可以有效地降低高斯噪声。

• GDES-ABC算法的三个改进如下：1）基于优良点集理论初始化初始种群，以确保种群的平均性和多样性。 2）将随机域搜索方法替换为基于动态精英组的域搜索方法，以加快收敛速度​​并提高搜索效率。 3）基于模拟退火机制的域选择可以防止算法陷入局部最优。 数值仿真结果表明，与现有算法相比，GDES-ABC算法的收敛速度和收敛精度分别提高了25％〜66％和21％〜73％。

在本文中，将对性能进行详细检查，并将其与使用模拟和真实数据的现有方法进行比较。 数值模拟和实验结果证明并验证了所提出的AWMF + GDES方法可以有效地改善水下声信号的接收性能。

本文的其余部分安排如下。 第二部分介绍了系统模型。 第三节介绍了拟议的水下声信号降噪算法。 分别使用第四部分和第五部分中的模拟数据和实际数据验证了所提算法的有效性。 最后，第六节总结了论文。

2.系统模型

对于单输入单输出（SISO）水下声学通信系统，接收器接收到的信号y（t）以数字形式描述为一组离散样本：

其中s（i）是具有随机幅度和相位的随机SOI; e（i）是加性背景噪声； N是样本总数。 去噪的目的是通过使用滤波器，WT，EMD或其他信号处理方法从y（i）中恢复SOI的估计信号s 0（i），这将减少e（i）对SOI的影响。
常用的降噪算法假定水下声通道中的附加背景噪声是高斯噪声源，并且该源的瞬时强度x的PDF为：
SNR定义为：

其中 σ s 2 σ^2_ s σs2​和 σ e 2 σ^2_ e σe2​分别是SOI和加性高斯白噪声（AWGN）的方差。

但是，在实际的水下声通道中，图1所示的非高斯噪声信号的PDF与高斯分布相似。 但是，尾部更长，强振幅的可能性更高，而那些噪声源的持续时间更短。 非高斯噪声具有尖峰脉冲的特性，被认为是一种突发非高斯脉冲信号。
因此，难以将基于高斯模型的通用去噪算法应用于实际的水下声通道。

SαS分布是满足广义中心极限定理的极限分布模型，并且可以与上述非高斯脉冲噪声的产生机理和传播条件相一致。 因此，使用SαS分布描述水下尖峰脉冲噪声比高斯分布具有更多的优势。 如果随机变量X的特征函数可以表示为：

其中 j = − 1 j =\sqrt{-1} j=−1 ​，a是局部参数，-∞<a <∞，和

然后，随机变量X满足α稳定分布。 其中，α是决定分布的脉冲特征程度的特征指数，0 <α≤2。α越大，脉冲特征越明显。 当α= 2时，α稳定分布等于高斯分布。 β是用于确定分布斜率且-1≤β≤1的对称参数。γ是分布的色散且γ> 0，这类似于高斯分布的方差。
当β= 0时， 方程式（4）可以写成：

在这种情况下，该分布称为SαS分布，记录为X〜SαS。 为简单起见，假设本地参数a为0。那么，SαS分布的PDF为：


无法计算出满足SαS分布的非高斯脉冲噪声的方差。 因此，MSNR用于描述非高斯脉冲噪声的功率。 MSNR定义为：
其中 σ s 2 σ^2 _s σs2​和γ分别是SOI的方差和满足SαS分布的非高斯脉冲噪声的色散。
为了更真实地描述真实环境中的噪声，假定水下声学噪声是通过高斯噪声和非高斯脉冲噪声的叠加获得的。 因此，水下声噪声模型e（i）定义为：

其中在公式中提供了 e G a u s s ( i ) ， e S α S （ i ） e_{Gauss}(i)，e_{SαS}（i） eGauss​(i)，eSαS​（i）以及 σ e σ_e σe​和γ的PDF。 方程式（2），（8），（3）和（9）。

3.水下声信号降噪算法AWMF + GDES

为了有效减少高斯和非高斯脉冲噪声对接收信号的影响，提出了一种新的水下声信号降噪方法，将AWMF与基于GDES-ABC的小波阈值优化方法相结合。 处理方案的整体过程如图2所示，具体步骤如下。

• A.自适应窗口中值滤波器
  SMF会替换所有样本，从而导致SOI失真。 因此，本文提出了AWMF。 首先，检测预设窗口中的脉冲噪声点的数量，并基于微分方法确定脉冲噪声的位置，并对脉冲噪声点的数量进行计数。 然后，根据预设窗口中的脉冲噪声点的数量，基于自适应调整规则重新确定新的滑动窗口的大小。 最后，在新窗口中将脉冲噪声点替换为中点。

  • 1）脉冲噪声检测：假设接收器接收到的信号为y = [y（1），y（2），…，y（N）]，则初​​始滑动窗口W的长度为 L W = 2 n + 1 L_W = 2n +1 LW​=2n+1，如图3所示。
    通过使用初始滑动窗口W，从中心点y（i）以外的接收信号y中获得i时刻的样本w（i）为：
    
    以升序对w（i）中的信号点进行排序，以获得：
    
    其中sort（·）是排序函数。 设置Med =median（r（i）），其中median（·）代表中位数。 然后，差分噪声点检测器定义为：
    
    对于给定的预设脉冲阈值 T n o i s e T_ {noise} Tnoise​，如果 d （ i ） > T n o i s e d（i）> T_{ noise} d（i）>Tnoise​，则y（i）是脉冲噪声且N（i）= 1； 否则，y（i）是无噪声SOI，并且N（i）= 0，其中N（i）是脉冲噪声标记变量。 在水下声接收信号中，如果声速为c，幅度为A，采样频率为 f s f _s fs​，载波频率为 f c f _c fc​。 那么，任何相邻样本的变化率是：
    
    水下声信号的相邻样本之间的长度为 L s i m p l e = c f s L_{ simple} =\frac{ c}{ f _s} Lsimple​=fs​c​。 因此，脉冲阈值设置为
    

  • 2）自适应窗口大小确定：普通中值滤波器的性能受窗口中脉冲噪声的比例限制。 随着脉冲噪声比例的增加，滤波性能下降。
    根据该比例，本文自适应地调整了新窗口的大小，以减少脉冲噪声的比例并有效地提高了降噪性能。 对于初始滑动窗口W，长度 L W = 2 n + 1 L_ W = 2n + 1 LW​=2n+1。 当中心点y（i）是脉冲噪声时，窗口中的噪声点的数量计算为：
    
    然后，将新窗口的长度 W n e w W_{new} Wnew​定义为：
    

  • 3）信号滤波：根据新窗口 L W n e w （ y ( i ) ） L _W{ new}（y(i)） LW​new（y(i)）的大小和脉冲标记N（i），对接收到的信号进行如下滤波。 脉冲噪声被新窗口中的中值代替，而无噪声SOI保持不变。 假设 y i p （ i ） y_{ ip}（i） yip​（i）是 W n e w W_{ new} Wnew​中的脉冲噪声，则其他样本为：

  • 
    将 w n e w ( i ） w _{new}(i） wnew​(i）中的信号点按升序排序以获得：
    
    然后，将脉冲噪声 y i p （ i ） y_{ ip}（i） yip​（i）替换为：
    
    其中 y i p ′ （ i ） y' _{ip}（i） yip′​（i）是滤波后的信号。

• B.基于GDES-ABC的小波阈值优化
  提出的小波阈值方法涉及的步骤如下。 首先，选择适当的小波基函数和分解层数以分解滤波信号 y i p ′ （ i ） y' _{ip}（i） yip′​（i），并获得小波系数。 然后选择适当的阈值和阈值函数以缩小小波系数。 最后，通过处理后的小波系数的小波逆变换来重建估计信号 s ′ （ i ） s '（i） s′（i）。
  为了克服传统小波阈值方法的局限性，本文构造了一个新的阈值函数，并使用改进的ABC算法对阈值参数进行了优化，以提高去噪性能。

  • 1）构造新的阈值函数：该阈值函数反映了不同的处理策略和小波系数的估计方法，它们直接影响最终的去噪效果。 通用阈值功能包括硬阈值功能和软阈值功能。 但是，硬阈值函数在阈值处是不连续的，从而导致重构后信号的严重振荡。 当软阈值函数缩小大的小波系数并损失一些信息时，会导致重构的和SOI之间出现偏差。 因此，已经提出了许多半软阈值函数来确定硬阈值函数和软阈值函数之间的折衷策略，以避免上述问题。 等式 （21）显示了半软阈值功能之一：

  
  其中 w j ， k w_{ j，k} wj，k​和 w ‾ j ， k \overline w_ {j，k} wj，k​分别表示原始和处理后的小波系数； λ是阈值，j和k表示第j层的第k个系数； sgn（·）是Signum函数，∂是调节因子，0≤∂≤1。
  等式 （21）分别表示∂= 0和∂= 1时的硬阈值函数和软阈值函数。 但是，通常将∂设置为一定值，导致缺乏适应性，并且在去噪过程中仍然存在一些固定的偏差和不连续性。
  合理的阈值函数需要满足输入输出曲线的连续性，处理应该相对平滑，并且期望信号的小波系数处理应该保持不变。 因此，本文提出了一种新的自适应阈值函数：
  
  其中η是具有非负值的指数因子； λ j λ_j λj​表示第j层阈值，j = 1,2，…，L，其中L是分解层数。
  根据连续性的定义，很容易证明等式（22）在（-∞，-λj），（-λj，+λj）和（+λj，+∞）的范围内是连续的。 当w j，k≥λj时， （22）可以写成：
  
  当 w j , k = λ j w_{ j,k} =λ_j wj,k​=λj​时， w ‾ j , k = 0 。 ∣ w j , k ∣ < λ j \overline w_{ j,k} = 0。|w_{ j,k}| <λj wj,k​=0。∣wj,k​∣<λj，等式 (22）可以表示为 w ‾ j , k = 0 \overline w_{ j,k} = 0 wj,k​=0，则
  
  可以看出， 等式（22）在 w j , k = λ j w_{ j,k} =λ_j wj,k​=λj​处连续。 当 w j , k < − λ j w_{ j,k} <-λ_j wj,k​<−λj​时，等式（22）可以写成：
  
  因此，
  
  
  因此， w ‾ j , k = w j , k \overline w_{ j,k} = w_{j,k} wj,k​=wj,k​是等式(22)的渐近线。
  图4比较了阈值λ= 5时不同的阈值函数。水平轴和纵向轴分别表示通过阈值收缩获得的原始和处理后的小波系数（从-10到10）。 从图中可以看出，等式 （22）中给出了阈值函数。是硬阈值功能和软阈值功能之间的折衷策略。 它具有更好的连续性和平滑度，同时保留了较大的小波系数。 这意味着等式 （22）的阈值函数。对SOI更为保真。

  • 2）基于GDESABC的阈值参数优化：传统的基于统一阈值的阈值估计方法取决于噪声方差的估计精度。 当阈值设置得太小时，去噪信号仍然包含噪声。 否则，它将滤除SOI的特性，从而导致重构信号失真。 为了提高阈值的估计精度，等式（22）中的λj和η 被视为未知阈值参数，并使用GDES-ABC算法进行了优化，以确保所提出算法的去噪性能。
    - a）人工蜂群算法：ABC算法是受自然界中蜂群聚集行为启发的。它将蜂蜜源抽象为解空间中的一个点，并将蜂蜜源的数量用作优化问题的适用性值。 因此，蜜蜂采集蜂蜜的过程就是在溶液空间中寻找最佳溶液的过程。 ABC算法主要包括受雇，旁观者和侦察蜂。 因此，该算法主要包括四个阶段：初始化，所用蜂，旁观蜂和侦察蜂。
    – 初始化阶段：假设优化问题的解空间为D维，总体大小为SN。 人口表示为：
    
    解决方案的上限和下限是：
    
    ABC算法的初始解是随机生成的，表示为：
    
    其中i = 1,2，…，SN，d = 1,2，…，D，rand是0到1之间的随机实数， x i d x_id xi​d表示解 X i X_i Xi​的第d个分量。

    – 受雇的蜜蜂阶段：每位受雇的蜜蜂只寻找一个蜂蜜源，而寻找蜂蜜源的过程是随机的。 新的蜂蜜源基于当前的蜂蜜源字段搜索：
    
    其中 v i d v_{ id} vid​表示解 V i V_i Vi​的d维， φ i d φ_{id} φid​是-1和1之间的随机实数， x k d x_{kd} xkd​表示 x i d x_{ id} xid​的随机选择邻居，k∈{1,2，…，SN }， k ≠ i k\neq i k​=i。
    生成新解后，根据适应度值使用贪婪选择策略更新种群。 解决方案X i的适合度拟合i通过以下公式计算：
    通过将解 X i X_ i Xi​引入优化问题中， f i f_ i fi​是目标函数值。
    根据贪婪选择策略，如果新解 V i V_i Vi​的适应度值大于当前解 X i X _i Xi​的适应度值，则 V i V_i Vi​是替代 X i X_ i Xi​的较好解，并且更新了总体。 否则， V i V_i Vi​是一个较差的解决方案，并且会被放弃，使总体保持不变，而重复值trial（i）加1，其中trial（i）表示重复搜索蜜蜂i的次数。
    –围观蜜蜂阶段：围观蜜蜂的搜索过程基于所雇用蜜蜂获得的蜂蜜来源。 围观的蜜蜂使用等式（37）生成新的解决方案。 根据选择概率 p a c c e p t （ i ） p_{ accept}（i） paccept​（i）。 然后使用贪婪选择策略更新总体。
    选择概率 p a c c e p t （ i ） p_{ accept}（i） paccept​（i）由下式计算：
    –侦察蜂阶段：如果在先前设置的搜索次数（表示为限制）内未改进解决方案，则放弃此解决方案。 然后，使用等式 （36）随机生成新的解决方案。更换废弃的解决方案。
    尽管ABC算法具有良好的收敛性能，但是初始种群的随机生成导致种群多样性的缺乏，并且随机邻域搜索方法的收敛速度较慢。
    此外，基于贪婪选择策略的更新方法直接放弃了不好的解决方案，这大大降低了菌落的发展能力，并使算法陷入局部最优状态，导致收敛精度较差甚至不收敛。
    
    b）GDES算法：克服ABC算法的缺点，在等式中获得最佳阈值参数。 文献（22）基于三种改进策略提出了GDES-ABC算法。 算法1中提供了所提出的GDES-ABC算法的伪代码，主要改进如下。

    • –基于良好点集的人口初始化：提出的GDES-ABC算法的第一个改进策略是基于良好点集初始化人口。 基于优点集的种群初始化可以有效地提高种群的多样性，防止算法陷入局部最优。 构造好点的方法是：
      
      其中p表示最小素数，并且（p-3）/ 2≥D； D是解的维数； deci {·}表示获得小数，而 r k r_k rk​表示优点。 因此，良好点集 [ P S N ( 1 ) , P S N ( 2 ) , . . . , P S N ( S N ) ] T [P_{SN} (1),P_{SN} (2),...,P_{SN} (SN)] ^T [PSN​(1),PSN​(2),...,PSN​(SN)]T的构造方法为：
      
      其中 [ ⋅ ] T [·] ^T [⋅]T表示转置，SN是总体大小。 然后，通过以下方法获得初始种群：
      
      其中Ub和Lb分别是解的上限和下限。

    ** 基于动态精英组的邻域搜索**：提出的GDESABC算法的第二种改进策略是基于动态精英组进行邻域搜索。 动态精英组在总体中包含更好的解决方案，并且其规模随迭代次数而变化。 因此，基于动态精英群的邻域搜索可以有效地加快收敛速度​​，提高搜索效率。 根据适应度值，动态精英组 D X E = [ D X E 1 ， D X E 2 ， . . . ， D X E T e l i t e ] T DXE = [DXE _1，DXE _2，...，DXE _{Telite}]^T DXE=[DXE1​，DXE2​，...，DXETelite​]T由顶部 T e l i t e = c e i l （ p E l i t e ∗ S N ） Telite = ceil（p_{ Elite} * SN） Telite=ceil（pElite​∗SN）蜜蜂构建，其中ceil（·）表示 四舍五入后，p Elite是动态精英群体在人口中的比例，由下式给出：
    
    其中 p m a x p_{max} pmax​和 p m i n p_{min} pmin​分别是 p E l i t e p_{Elite} pElite​的最大值和最小值； t_{max}是最大迭代次数，t是当前迭代次数。 从等式（43）可以看出。 在算法的早期，t和 p E l i t e p_{Elite} pElite​都很小，这个精英群体包含了最好的解决方案。 因此，基于该精英群体的邻域搜索方法更具决定性，并且可以显着加快收敛速度​​。 但是，在算法的后期，t和 p E l i t e p_{Elite} pElite​都很大，并且这个精英群体包含大量解决方案，而其中一些解决方案可能是较差的解决方案。 因此，人口更加多样化，并且增强了防止陷入局部最优并找到全局最优的能力。
    基于GDES-ABC算法的动态精英群的改进邻域搜索方法为：
    
    其中 φ i d φ_{id} φid​是-1和1之间的随机实数，Gbest是全局最优值， x k d x_{kd} xkd​是 x i d x_{ id} xid​的随机选择的邻居，并且 D X E C = [ D X E C （ 1 ） ， D X E C （ 2 ） ， . . . ， D X E C （ D ） ] DXEC = [DXEC_{（1）}，DXEC_{（2）}，...，DXEC _{（D）}] DXEC=[DXEC（1）​，DXEC（2）​，...，DXEC（D）​]是精英群体的中心，由下式给出：
    
    基于动态精英群体的邻域搜索策略可以描述如下。 对于每个邻域搜索，所用蜜蜂以相同的概率随机搜索邻域，并使用等式 （44）生成新的解决方案。。 围观者蜜蜂随机搜索邻居以形成动态精英组，并使用等式 （44）生成新的解决方案。。 对于围观蜜蜂，如果新解决方案比以前的解决方案更好，则将其选择用于下一个邻居搜索； 否则，将在下一个邻域搜索中随机选择动态精英组中的新旁观者​​。 这种邻域搜索策略是随机执行的，以确保种群多样性并避免无效搜索。

    -** –模拟退火选择机制**：提出的GDES-ABC算法的第三个改进策略是模拟退火选择机制。 根据一定的概率，模拟退火选择机制接受的解决方案较差，可以有效地防止算法陷入局部最优状态，并提高算法搜索全局最优值的能力。
    假设在第t次迭代中当前温度为 T t T _t Tt​，退火参数为K，则使用等式 （43）生成新的解 V t V _t Vt​。适合度适合v。 模拟的退火选择机制如下：如果 f i t v > f i t x fit_ v> fit_ x fitv​>fitx​，则直接接受新的解决方案，其中 f i t x fit _x fitx​是当前解决方案的适合度值； 否则，根据随迭代次数而变化的接受概率 p a c c e p t ′ p'_ {accept} paccept′​接受新解。 接受概率的计算公式为：
    
    其中ς是一个常数且ς≤1（通常设置为0.7），而 σ f i t σ_{fit} σfit​是所有解的适应度值的标准偏差。
    从等式中（46）-（47）可以看出，在算法的早期，t小而 T t T_ t Tt​高。 因此， p a c c e p t ′ p'_ {accept} paccept′​很高，这意味着该算法接受了一些较差的解，并且蜂群具有很强的开发能力。 但是，在算法的后期，t变大， T t T_ t Tt​逐渐减小。 因此 p a c c e p t ′ p'_ {accept} paccept′​变小。
    因此，该算法拒绝较差的解，确保算法搜索最佳解的能力，并避免无效搜索。

    -c）适应度函数：SOI和重构信号之间的MSE可以用作适应度函数[33]，[34]，[40]。 因此，等式（22）中的最佳阈值参数。 通过最小化两次训练之间的MSE来获得 使用GDES-ABC算法重建信号。
    适应度函数定义为：
    其中s（i）和s’（i）分别是训练信号和重构信号，而N是信号的长度。 可以看出，等式 （22）中所示的阈值函数。 是阈值参数 λ j λ_j λj​和η的函数。 一旦确定了 λ j λ_j λj​和η，就可以确定。 （22）也被确定。 然后，可以在阈值缩小之后获得小波系数，并且可以重构去噪信号s’（i）。 因此，在GDES-ABC算法中，可以将由λj和η组成的向量视为蜂蜜源的位置，并且可以通过最小化等式（48）中的适应度函数来获得最佳阈值参数。

4. 数值模拟

在数值模拟中，验证了所提出的GDES-ABC算法，基于GDES-ABC的小波阈值优化方法以及基于AWMF + GDES的水声信号去噪算法的效率。

• A. GDES-ABC的模拟结果
  

为了验证和比较GDES-ABC算法与ABC，ECABC，PSO和MPSO算法的性能，选择了六个基准函数。 表I列出了六个基准函数，其中 f 1 和 f 2 f _1和f _2 f1​和f2​分别是连续单峰函数和不连续阶跃函数； f 3 − f 5 f_ 3-f_ 5 f3​−f5​是连续多峰函数。
当D≤3时， f 6 f_ 6 f6​是单峰函数，而当D> 3时， f 6 f_ 6 f6​变成多峰函数。 对于 f 1 − f 5 f _1 -f _5 f1​−f5​，最优值为0，而可接受的值为 1 × 1 0 − 8 1×10^{-8} 1×10−8，代表函数的令人满意的解；对于$f_6￥，最优值也为0，而可接受的值为 1 × 1 0 − 1 1×10^{-1} 1×10−1。 D是解决方案的维度。 使用在装有Intel i5-4570处理器和4G内存的计算机上运行的MATLAB R2015b进行了仿真。


图5示出了不同算法在 f 1 − f 6 f _1 -f _6 f1​−f6​上的收敛性能。 仿真中使用的GDES-ABC的参数设置如表II所示，其中PSO，MPSO，ABC和ECABC算法的其他参数如表III所示。 从图5可以看出，ABC，ECABC，GDES-ABC和MPSO算法为 f 1 f _1 f1​获得了令人满意的解，其中GDES-ABC算法的收敛速度比其他算法至少高25％。 此外，当迭代次数t = 1000时，GDES-ABC的收敛精度比其他算法至少高21％。
对于 f 2 f_ 2 f2​，ABC，ECABC，GDES-ABC和MPSO算法获得全局最优，而PSO算法落入局部最优，并且GDES-ABC的收敛速度比其他算法高至少33％。
对于 f 3 f _3 f3​，GDES-ABC算法在t = 300时获得全局最优，而PSO和MPSO都陷入局部最优，并且GDES-ABC的收敛速度比其他算法高至少20％。
对于 f 4 f _4 f4​，只有GDES-ABC和ECABC算法获得令人满意的解，并且GDES-ABC的收敛速度比ECABC高至少23％。
对于 f 5 f_ 5 f5​，只有GDES-ABC获得全局最优。 对于 f 6 f_ 6 f6​，只有GDES-ABC和ECABC算法获得令人满意的解，并且GDESABC的收敛速度比ECABC高至少66％。 当t = 1000时，GDES-ABC的收敛精度比ECABC至少高73％。 总体而言，所提出的GDES-ABC算法在收敛速度和收敛精度方面均比其他算法具有更好的性能。

图5显示，ABC，ECABC和GDES-ABC算法的收敛性能通常优于PSO和MPSO算法。 为了进一步比较，表IV仅列出了 f 1 − f 6 f _1 -f_ 6 f1​−f6​的ABC，ECABC和GDES-ABC算法的计算复杂度和平均运行时间。 每个算法运行50次，并计算每个功能的平均运行时间。 ABC算法主要包括种群更新和适应度计算，计算复杂度为O（D·SN）。
ECABC算法的计算复杂度为O（D·SN + SN·log（SN）+ SN），主要在于选择精英人口和计算精英人口中心。 提出的GDESABC的计算复杂度为O（D·SN + SN·log（SN）+ SN + 2·D +1），主要在于基于优点集的种群初始化，基于动态精英的邻域搜索。 组，以及模拟退火选择机制。 从表IV可以看出，GDES-ABC算法的平均运行时间比ABC算法的平均运行时间稍长。 但是，GDES-ABC和ECABC算法的平均运行时间没有显着差异。
考虑到所提出的GDES-ABC算法比其他两种算法具有更高的复杂性，因此该算法的平均运行时间是可以接受的。

• B.基于GDES-ABC的小波阈值优化方法的仿真结果
  为了验证所提出的基于GDES-ABC的小波阈值优化方法消除高斯噪声的有效性，将其在去噪两个基准信号Bumps和Doppler上的性能与统一阈值的小波半软阈值函数进行了比较。 方法（半软），带软阈值功能的贝叶斯收缩方法（Soft-BS），维纳滤波器（WF），ITF-DTCWT，以及基于MPSO和ECABC（MPSO和ECABC）的小波阈值优化方法。 噪音是AWGN。输出SNR，RMSE和NSR用于评估去噪性能，并定义为：
  其中s（i）和s ‘（i）分别是SOI和重构信号； s和 s ‾ ′ \overline s' s′分别是s（i）和s’（i）的均值； N是信号的长度。

图6比较了使用不同算法对两个基准信号进行去噪后的输出SNR，RMES和NSR。 输入从等式（3）定义的SNR范围从-10dB到30dB。 本文使用的小波基函数为sym7，分解层数为L =5。WF的阶数为100。ITF-DTCWT使用13,19- 级别1的抽头滤波器和级别2的Q移位14抽头滤波器。样本和训练信号的长度分别为N snap = 1024和N train = 100，而最大迭代次数为300。 从图中可以看出，对于两种不同的基准信号，在输出SNR，RMSE和NSR方面，所提出的GDES-ABC方法比其他算法具有更好的性能。 此外，当输入SNR较小时，噪声分量较大，并且大多数算法都难以提取信号分量。 然而，所提出的阈值函数具有更好的可区分性和连续性，并且可以比其他算法更清晰地从噪声环境中提取SOI，从而获得更好的降噪性能。 当输入SNR继续增加时，信号能量会增强，并且算法可以清楚地区分噪声和信号能量，以获得更好的降噪性能。 此外，小波阈值优化方法的性能要强于非优化算法。 由于GDES-ABC算法具有出色的优化能力，因此提出的小波阈值优化方法获得了最佳性能。 另外，当输入SNR小时，WF对噪声敏感，难以获得满意的降噪性能。 随着输入SNR的增加，WF的性能迅速提高，甚至超过了MPSO和ITF-DECWT。 但是，Soft-BS的性能首先随着输入SNR的增加而增加，然后趋于稳定。 这是因为Soft-BS使用软阈值函数来处理小波系数，从而导致重构信号和原始信号之间存在偏差，并实现了稳定的性能。 尽管ITF-DECWT方法的阈值函数具有连续性和差异性，但它缺乏自适应性，导致去噪性能较差。 此外，对于凹凸信号，当输入SNR≤15dB时，GDES-ABC算法的输出SNR略高于其他算法。 但是，对于输入SNR> 15dB的情况，GDES-ABC算法的输出SNR迅速增加，并且明显高于其他算法。 当输入SNR = 30dB时，GDES-ABC方法的输出SNR比其他算法高4.09dB。 总体而言，与针对两个基准信号的其他算法相比，GDES-ABC算法的高效优化能力使该算法能够实现最高的输出SNR和NSR，以及最小的RMSE。

图7比较了具有不同采样点数量的8种算法的输出SNR，RMSE和NSR。
在使用凸点作为SOI的情况下，输入 S N R = 5 d B ， N t r a i n = 100 SNR = 5dB，N_{ train} = 100 SNR=5dB，Ntrain​=100，采样点数 N s n a p N_{ snap} Nsnap​的范围为 2 9 到 2 15 2^9到2^{15} 29到215。 从图7中可以看出，与其他算法相比，该算法获得了最高的输出SNR和NSR和最小的RMSE。大多数算法的去噪性能随 N s n a p N_{ snap} Nsnap​的增加而提高。 但是，WF的性能会随着采样点数量的增加而逐渐降低。 原因是WF的阶数不能满足大量采样点的需求，降噪性能下降。 另一方面，该算法在采样点数较少的情况下可以获得最佳性能，表明与其他算法相比，该算法更适合于水下稀疏信道。

为了测试基于GDES-ABC的小波阈值优化方法的鲁棒性，图8显示了在窄带高斯噪声下具有输入SNR的不同去噪算法的输出SNR，RMSE和NSR。 每种算法的参数与上述参数相似。 N t r a i n = 100 ， N s n a p = 1024 N_{train} = 100，N _{snap} =1024 Ntrain​=100，Nsnap​=1024。从图8可以看出，小波阈值优化方法（如GDES-ABC，ECABC，MPSO）的输出SNR和NSR较低，RMSE小于 输入SNR> 10dB时的其他算法。 原因是窄带噪声的小波系数相对较大，并且在输入SNR较小时不服从高斯分布。 因此，这些方法难以估计最佳阈值参数。 其中，通过使用贝叶斯估计方法和改进的阈值确定方法，Soft-BS和ITF-DTCWT可以获得更好的阈值，从而获得更好的性能。 但是，当输入SNR> 10dB时，小波阈值优化方法的性能要优于非优化算法。 原因是，随着输入SNR的增加，来自SOI的小波系数大于窄带噪声的小波系数。 在这种情况下，这些方法可以获得更好的阈值参数和更好的性能。 尽管当输入SNR较小时GDES-ABC算法的性能较差，但在小波阈值优化方法中仍能达到最佳性能。 另外，当输入信噪比较大时，GDES-ABC算法在所有算法中均达到最佳性能，这表明该算法具有一定的适应性，可以消除窄带噪声。

图9显示了在不同迭代次数下三种小波阈值优化方法的输出SNR，RMSE和NSR的比较。 使用凹凸作为SOI时，输入SNR = 5dB， N t r a i n = 100 ， N s n a p = 1024 N _{train}= 100，N_{ snap} =1024 Ntrain​=100，Nsnap​=1024。从图中可以看出，三种方法的输出SNR和NSR随着数量的增加而提高。 的迭代。 同时，与其他方法相比，该算法获得了最高的输出SNR和NSR。 此外，当迭代次数达到100时，所有三种小波阈值优化方法的性能都不稳定。 可以推断，随着迭代次数的增加，这三种方法的性能将得到改善。 这些结果与第IV-A节中介绍的优化算法的收敛性能分析一致，并进一步证明了所提出的GDES-ABC算法在收敛速度和收敛精度方面都比其他算法更好。

• C.基于AWMF + GDES的水下声信号去噪算法的仿真结果
  在水下声通信中，QPSK和16QAM信号被广泛使用。 这些信号在本文中被视为SOI，而水下声噪声是通过将AWGN与等式（2）和（8）中所示的非高斯脉冲噪声相结合而获得的。
  提出了所提出的基于AWMF + GDES的水下声信号去噪算法的性能，并将其与通过将AWMF与Semi-soft，MSSA，MPSO和ECABC组合而获得的不同算法进行了比较。

图10显示了使用建议的AWMF + GDES，AWMF，AWMF + MPSO，AWMF + ECABC，AWMF +对QPSK和16QAM信号进行去噪后，输出SNR，RMSE和NSR（当输入MSNR = 20dB时）的比较。 半软，AWMF + MSSA和SMF方法。
仿真所用算法的参数设置如表II和V所示。可以看出，对于QPSK和16QAM信号，这7种算法的输出SNR和NSR首先随着输入的增加而增加。 SNR，然后趋于饱和。 虽然这7种算法的RMSE逐渐降低并趋于平坦。
原因是当MSNR = 5dB且输入SNR较小时，非高斯脉冲噪声和高斯噪声都较强。 因此，SOI被强大的水下声噪声所模糊，并且所有降噪算法的性能都很差。 随着输入SNR逐渐增加，SOI的功率也增加。 因此，去噪算法可以更清楚地分离SOI，从而提高性能。 从AWMF和SMF获得的两条曲线可以看出，由于能够自适应地调整中值滤波器窗口的大小，因此所提出的AWMF与SMF相比，可以获得更高的输出SNR和NSR，以及更小的RMSE。 此外，优化的去噪算法的性能要优于未优化的算法。 这表明优化后的去噪算法可以有效提高传统去噪算法的去噪性能。 此外，当输入SNR> -5dB和SNR> -10dB时，所提出的AWMF + GDES算法分别获得QPSK和16QAM信号的最高输出SNR。 可以看出，提出的AWMF + GDES算法更适合于对16QAM信号进行去噪，这意味着它更适合于高速水下声通信。

图11显示了使用7种不同算法将输出SNR，RMSE和NSR作为输入MSNR的函数的比较（当输入SNR = 5dB时）。 可以看出，对于每个SOI，这7种算法的输出SNR，RMSE和NSR随着输入MSNR的增加而逐渐增加，并且NSR趋于饱和。 但是，随着输入MSNR的增加，所有7种算法的RMSE逐渐逐渐加快。 原因是，SOI的幅度随着输入MSNR的增加而变大，去噪后的RMSE也增加。 总体而言，与其他6种算法相比，所提出的AWMF + GDES算法可获得最高的输出SNR和NSR，以及最低的RMSE。 这意味着所提出的AWMF + GDES算法在衰减水下声信号方面可以获得更好的性能。

5.实验结果

在本节中，将通过两次海试期间收集的真实数据来评估所提出的水下声信号降噪算法的性能。 第一次海试是在2020年8月24日在中国青岛青岛着陆阶段的浅水声通道中进行的。实验场的深度约为4 m。 信号在桥下的两个传感器之间传输。 两个换能器均悬挂在2 m的深度处。 换能器之间的平均距离为60 m。 于2020年9月22日在中国青岛胶州湾的浅水声波通道中进行了第二次海试，换能器之间的平均距离为120m。 实验场的深度约为30 m。 两个换能器被携带在两个渔船上。 两个传感器都悬挂在船下4 m的深度处。 两次海上试验期间的调制格式是BPSK，比特率为3.5k bps，载波频率为14 kHz。

每种算法的算法参数与第四节中介绍的数值模拟相似。 图12显示了在两次海上试验中针对BPSK信号提出的AWMF + GDES算法的去噪结果。 可以看出，两个原始信号都被水下声噪声所模糊。 当换能器之间的平均距离为60 m时，会出现少量的非高斯脉冲噪声。 并且当换能器之间的平均距离为120 m时，BPSK信号被非高斯脉冲噪声严重模糊。 然而，在使用所提出的算法之后，大部分噪声被消除，并且去噪的信号保留了原始信号的细节信息。

表VI比较了两次海试期间通过不同方法获得的输出SNR，RMSE和NSR。 当换能器之间的平均距离为60 m时，每种算法获得的SNR，RMSE和NSR相似。 原因是SOI受水下噪声的影响较小，因为换能器之间的平均距离很短。 因此，由于强大的SOI，所有算法均获得了更好的性能，输出SNR达到17dB。 但是，当换能器之间的平均距离为120 m时，SMF和AWMF + Semi-soft的降噪性能急剧下降，甚至SMF算法的重建也失败了。 此外，在输出信噪比，RMSE和NSR方面，优化的去噪算法要优于未优化的算法，这与第四节中的数值模拟是一致的。 因此，本文提出的算法可以获得最佳的去噪性能。 总体而言，所获得的结果表明，所提出的水下声信号去噪算法能够获得令人满意的水下声信号去噪性能。

6.结束语

针对水声SISO信道的高斯/非高斯脉冲加性噪声，提出了一种新的水声信号降噪方法，称为AWMF + GDES。 该方法采用AWMF抑制非高斯脉冲噪声，采用基于GDES-ABC的小波阈值优化算法抑制高斯噪声。 数值仿真和实验结果表明，所提出的AWMF + GDES算法优于现有算法，具有较好的性能。 总体而言，与其他方法相比，该算法能够实现更好的去噪效果，并保留原始水下声信号的信息。
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