求五个正五边形规则叠加出的阴影五边形的面积

原题如下所示：

 文字部分是：一个面积为10的正五边形在水平地面上无滑动地翻滚，求图中阴影部分的面积。

分析：由对称性，只考虑左半部分即可。另外，因为是正多边形，水平无滑动地翻滚就等价于平移一个边长的距离。如下图所示增加三条辅助线，并增加若干点的字母标记：

 AK垂直于FD，易知四边形AEFK的面积是所求阴影部分面积的一半，同时四边形ABDK的面积为正五边形面积的一半。

左半侧阴影部分面积未知的部分可分为三部分：三角形ABE、三角形EFG和四边形EBDG。

由平移特性，可知：

（1）CA // EB // GD，由此易知三角形ABE和三角形CBE面积相等

（2）EB = GD

另外，由正五边形性质，有 GD = EC，于是CBE是等腰三角形，于是 角ECB = 角CBE

考察顶点为C的正五边形，角EGF是其一个顶角的补角，于是其度数为72，由平行特性其内错角BEG也为72度，进而可得角CEB的度数为108 - 72 = 36

于是角CBE的度数为 (180 - 36) / 2 = 72

易知角BDG的度数为72，由平行性质知角EBD为108度，这说明CBD三点共线。

 这样，在顶点为C的正五边形里，已经有三角形CBE和阴影部分的三角形ABE面积相等；四边形EBDG（现在知道是菱形）也完全被包含。进一步考察剩余的三角形CDH和阴影部分的三角形EFG，如果它们的面积相等，则可求得本题指定的阴影部分面积为正五边形面积的(1+1/2)*2=3倍。

易知待考察的两个三角形都是等腰三角形，由底边所对的顶点向底边作高，各自得到两个直角三角形，由斜边为正五边形边长且都有一个36度的锐角可知这四个直角三角形全等。

综上，所求阴影部分面积为30。

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